Beweis: sgn(σ) = (−1)^n−i

Erste Frage Aufrufe: 555     Aktiv: 15.05.2022 um 17:45
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Seien i,n ∈ N mit i ≤ n und σ=(1,2,...,i−1,i+1,...,n,i) ∈ Sn (σ lässt also 1,...,i−1 invariant und vertauscht i, i + 1, . . . , n zyklisch). Zeigen Sie
sgn(σ) = (−1)^n−i.

Es hieß, man könne es über vollständige Induktion beweisen. Leider habe ich keine wirkliche Idee dafür. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

Danke schon mal im Vorraus.
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Wie habt ihr das Signum definiert? Kennst du den Zusammenhang zu Transpositionen? Die Aufgabe macht auch nur Sinn, wenn das keine Zykeldarstellung von \(\sigma\) ist (also drüber Zahlen stehen)   ─   mathejean 15.05.2022 um 14:43
Also den Zusammenhang zu Transpositionen kenne ich.

Für n ∈ N und σ ∈ Sn definieren wir das Signum der Permutation σ durch
Sgn(σ):= ∏ (σ(J)-σ(i)):(j-i)
1 ≤ i≤J≤n (steht unter ∏)   ─   user37a7e9 15.05.2022 um 15:05
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1 Antwort
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Okay, ich schreibe jetzt \(\sigma\) in Zyklenschreibweise (wenn du nicht kennst, sag bescheid), damit es richtig ist \(\sigma=(i,i+1,\ldots,  n)\). Die Idee mit Induktion ist okay, lass uns Induktion über \(n\) machen. Induktionsanfang ist leicht, versuch es selber. Sei nun die Aussage für \(n-1\) war. Es gilt \(\sigma=(i, i+1,\ldots,  n)=(i,i+1,\ldots,  n-1)(n-1,n)\). Wir wissen das Signum Gruppenhomorphismus ist und kennen Signum von Induktionsannahme und Transpositionen, schaffst du es jetzt?
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Also die Schreibweise kommt mir bekannt vor. Das Problem dabei ist, dass ich vollständige Induktion irgendwie nicht verstehe. :(   ─   user37a7e9 15.05.2022 um 15:35
Vollständige Induktion ist wie eine Kettenreaktion. Wir nehmen an, das Aussage für irgendeine ganze Zahl \(k\) gilt und sagen dann, wenn es für \(k\) gilt dann auch für seinen Nachfolger \(k+1\), dann gilt es aber auch für \(k+2\) usw. Man braucht dann nur einen Startpunkt \(k_0\) und zeigt es für ihn explizit (oft 0 oder 1) und dann geht Kettenreaktion los und Aussage stimmt für alle \(k\geq k_0\)   ─   mathejean 15.05.2022 um 15:38
Ich habe einen Versuch gestartet und es von einem anderen Beweis, der diesem ähnelte abgekupfert, weiß aber nicht, ob das nun richtig oder völliger Unsinn ist, was ich da geschrieben habe.
sgn(σ)=∏(darunter i≤n) (σ(n)-σ(i)):(n-i)
= ∏ (darunter i, n Element von Sn) (σ(n)-σ(i)):(n-i) ∏(darunter i, n nicht Element von Sn) (σ(n)-σ(i)):(n-i)
= (-1)^n-i ∏ (darunter i, n Element von Sn) (σ(n)-σ(i)):(n-i) ∏(darunter i, n nicht Element von Sn) (σ(n)-σ(i)):(n-i)
= (-1)^n-i   ─   user37a7e9 15.05.2022 um 15:44
Das ist für mich sehr schwer so zu lesen, die gute Nachricht ist, diese komplizierte Formel brauchen wir gar nicht, da du die Verbindung zu Transpositionen kennst   ─   mathejean 15.05.2022 um 17:45

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