Wie beweise ich die Transitivität?

Aufrufe: 82     Aktiv: 26.09.2021 um 23:20

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Hallo zusammen

Ich hätte da folgende Aufgabe.
Sei \(\Omega\) eine Menge und A eine algebra darauf. Sei \(\mu\) ein endlich additives mass auf A. Wir sagen \(C\,\,\sim\,\,D \Leftrightarrow \mu (C-D)=\mu (D-C)=0 \,\, \forall C,D \in A\)
Zeigen sie dass das eine Äquivalenzrelation ist.

Ich muss nur noch die Transitivität zeigen, aber irgendwie schau ich mir das schon zu lange an und sehe nicht wie ich da eine schlaue Mengenoperation hineinbringe. 

Meine Überlegungen:
Sei \(C,D,E \in A\) so dass \(C\,\,\sim\,\,D\) und \(D\,\,\sim\,\,E\). Das heisst \(\mu (C-D)=\mu (D-C)=0\) und \(\mu (D-E)=\mu (E-D)=0\). Nun muss ich ja zeigen dass \(C\,\,\sim\,\,E\). Da dachte ich mir ich addiere die beiden Gleichungen einfach also dass ich folgendes erhalte: \(\mu (C-D)+\mu (D-E)=\mu (D-C)+\mu (E-D)\)


Doch irgendwie weiss ich hier nicht wie weiter, also irgendwann muss man ja die \(\sigma\)-Additivität des Masses verwenden um aufs gewünschte zu kommen doch ich sehe nicht wie ich die Mengen schlau umformen kann. Könnte mir da jemand helfen?

Vielen Dank!

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Zeige $C-E\subseteq C-D\cup D-E$ und wende darauf dann die $\sigma$-Subadditivität an.
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Selbstständig, Punkte: 12.87K

 

aber gibt mir die Subadditivität nicht ein Grösser gleich? ich bräuchte ja dann aber ein gleich oder nicht? Und vorallem wie kannst du zwei Mengen hier addieren? Also bei mir ist das Minus eben die Differenz zweier Mengen.
  ─   karate 26.09.2021 um 21:53

Für jedes Maß gilt $0\leq \mu(A)$.   ─   cauchy 26.09.2021 um 21:54

okei ja das mit dem \(0 \leq \mu (A)\) macht sinn, aber ich verstehe dein + leider noch nicht ganz.   ─   karate 26.09.2021 um 22:00

Wenn das Minus die Differenz ist, ist das + eben die Vereinigung. ;)   ─   cauchy 26.09.2021 um 22:00

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aha also sollte das ganze so aussehen:

Wir können \(C\setminus E=(C\setminus D) \cup (D\setminus E)\) schreiben. Aus der \(\sigma\)-Subadditivität gilt \(0\leq \mu (C\setminus E)=\mu [(C\setminus D) \cup (D\setminus E)]\leq \mu (C\setminus D) +\mu (D\setminus E)=0+0=0\). Daraus folgt dass \(\mu(C\setminus E)=0\) und da das ganze symmetrisch ist erhalten wir dass \(\mu(C\setminus E)=\mu(E\setminus C)=0 \Leftrightarrow C\sim E\)
  ─   karate 26.09.2021 um 22:21

Super. Wobei du dich zweimal vertippt hast. $D\setminus E$ in der ersten Zeile und nach dem ersten Gleich.   ─   cauchy 26.09.2021 um 22:28

Ah super vielen Dank!
Hab ich korrigiert falls auch jemand anders mal interessiert ist an unserer Diskussion!
  ─   karate 26.09.2021 um 22:35

Kleine Korrektur: Es ist natürlich $C\setminus E$ nur eine Teilmenge von $C\setminus D \cup D\setminus E$ (muss ggf. noch gezeigt werden), worauf man dann die $\sigma$-Subadditivität anwendet.   ─   cauchy 26.09.2021 um 23:20

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