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Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $V$ ein $n$ dimensionaler $\mathbb{K}$ Vektorraum, und seien $f, g: V \longrightarrow \mathbb{K}$ lineare Abbildungen, wobei $\mathbb{K}$ hier als $\mathbb{K}$-Vektorraum (der Dimension 1) betrachtet wird.
1. Zeigen Sie dass $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f \geq n-1$.
2. Seien $f, g \neq 0$. Zeigen Sie, dass wenn $\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g$, so gibt es $v \in V$ mit $f(v), g(v) \neq 0$.
3. Seien $f, g \neq 0$, Ker $f=\operatorname{Ker} g$ und sei $v \in V$ mit $f(v)=\alpha \neq 0$ und $g(v)=\beta \neq 0$. Geben Sie $\mu \in \mathbb{K}$ mit $f=\mu g$.
3. Seien $f, g \neq 0$, Ker $f=\operatorname{Ker} g$ und sei $v \in V$ mit $f(v)=\alpha \neq 0$ und $g(v)=\beta \neq 0$. Geben Sie $\mu \in \mathbb{K}$ mit $f=\mu g$.
Die erste der drei Aufgaben habe ich denke geschafft (über den Rangsatz), allerdings frage ich mich, womit man die 2. und 3. lösen kann.
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queenlikealion
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