Vektorraum Sätze mit Zusammenhang Kern und Abbildungen

Aufrufe: 298     Aktiv: 16.04.2023 um 14:33

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Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $V$ ein $n$ dimensionaler $\mathbb{K}$ Vektorraum, und seien $f, g: V \longrightarrow \mathbb{K}$ lineare Abbildungen, wobei $\mathbb{K}$ hier als $\mathbb{K}$-Vektorraum (der Dimension 1) betrachtet wird.
 
 
1. Zeigen Sie dass $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f \geq n-1$.
2. Seien $f, g \neq 0$. Zeigen Sie, dass wenn $\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g$, so gibt es $v \in V$ mit $f(v), g(v) \neq 0$.
3. Seien $f, g \neq 0$, Ker $f=\operatorname{Ker} g$ und sei $v \in V$ mit $f(v)=\alpha \neq 0$ und $g(v)=\beta \neq 0$. Geben Sie $\mu \in \mathbb{K}$ mit $f=\mu g$.
 
Die erste der drei Aufgaben habe ich denke geschafft (über den Rangsatz), allerdings frage ich mich, womit man die 2. und 3. lösen kann.
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Zu 2. Was kannst Du aus $f,g\neq 0$ mit 1. schließen?
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Ich gebe dir mal zwei Hinweise, die beweisen kannst/sollst: 

1)Ist $f \neq 0$, so gilt $\dim \ker f=n-1$.  

2)Falls $v \neq 0$ aber $f(v)=0$, so gilt bereits $v \in \ker f$. Damit können zwei Elemente, die nicht auf $0$ abgebildet werden nicht beide im Kern liegen - sondern in welchem Unterraum?

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Im Bild..?   ─   queenlikealion 16.04.2023 um 14:33

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Hallo, wenn du bei 3) keine Idee hast, lass uns einfach annehmen es ex \(\mu\in K\) mit \(f=\mu g\), dann ist \(\alpha=f(v)=\mu g(v)=\mu \beta\). Falls also so ein \(\mu\) existiert, muss es \(\frac {\alpha}{\beta}\) sein. Versuche jetzt zu zeigen, dass dieses \(\mu\) die Aufgabe löst
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