Ringe bijektive Abbildung

Aufrufe: 231     Aktiv: 19.11.2022 um 15:15
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Sei n ∈ N fest und (Z/nZ, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement. ( Wurde vorher bewiesen).
 
zu beweisen: Ist n prim und [a] ∈ (Z/nZ) \ {[0]}, so ist die Abbildung Z/nZ → Z/nZ, [x] → [a] [x] bijektiv.

Ich habe keine Ahnung wie ich hier rangehen soll. Bijektiv bedeutet, dass ich jedem y genau ein x zuordne.
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1 Antwort
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Hallo wir haben endliche Mengen, es reicht also nur injektivität zu zeigen. Sei also \([x] \in \ker\), dann ist \(ax \in n\mathbb{Z}\), jetzt suche eine Widerspruch. Wenn schon euklidischer Algorithmus bekannt, Subjektivität geht auch sehr leicht
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Hm na gut. So ganz klar ist es mir nicht, aber ich versuche mich mal dran. Euklidischer algorithmus ist nicht bekannt.   ─   ramy69 19.11.2022 um 11:31
Was nicht klar?   ─   mathejean 19.11.2022 um 13:33
Wo hier genau der WIderspruch kommen soll. Entschuldige wirklich, wenn ich mich blöd anstelle.   ─   ramy69 19.11.2022 um 14:33
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Nach Vorraussetzung \(a \not \in n\mathbb{Z}\), also folgt für \(n\) prim sofort \(x \in n\mathbb{Z} \), also \([x]=0\)   ─   mathejean 19.11.2022 um 15:07
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Übrigens wir suchen keinen Widerspruch sondern zeigen Kern ist trivial, entschuldigung. Also wir hätten Widerspruch wenn wir angenommen hätten kern nicht trivial. Es tut mir leid für die Verwirrung, ich hoffe jetzt wird es klar   ─   mathejean 19.11.2022 um 15:10
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Ja jetzt ist es klarer. Alles gut, dass kann jedem passieren!!!!! Dass du dir überhaupt die Zeit nimmst, mir zu helfen, ist sehr nett!!!!   ─   ramy69 19.11.2022 um 15:15

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