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Um einmal auf den Beweis mit Hilfe des \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriteriums zu sprechen zu kommen. Wenn du Probleme hast die Definition nachzuvollziehen, will ich sie dir erstmal an folgender Grafik erläutern (das \(p\) ist dein \(a\)!):
Zunächst erst einmal was bedeutet "\(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: \forall x\in \mathbb{R}\) mit \(|x-a|<\delta\) folgt: \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)|". Erst einmal soll deutlich werden, dass das \(\delta\) von \(\varepsilon\) abhängen muss (denn \(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\)), da es laut Definition für alle \(\varepsilon\) ein \(\delta\) geben muss. Schau dir die Grafik dazu an. Wenn es ein \(x\) gibt so dass \(|x-a|<\delta\) erfüllt ist, muss \(x\) im Intervall von \(]p-\delta,p+\delta[\) liegen. \(x\) liegt also innerhalb des "Delta-Schlauchs". Dann soll folgen, dass \(f(x)\) im Intervall von \(]f(p)-\varepsilon,f(p)+\varepsilon\) liegen soll. \(f(x)\) muss dann also innerhalb des "Epsilon-Schlauchs" liegen. Würde \(\delta\) nicht von \(\varepsilon\) abhängen (wäre als ein fester Wert) könnte ich \(\varepsilon\) so kleiner wählen, dass die Funktionswerte von \(f(x)\) entweder vor \(x=p-\delta\) oder bis \(x=p+\delta\) bereits außerhalb des "Epsilon-Schlauchs" liegen würden. Dann wäre aber \(|f(x)-f(a)| \not< \varepsilon\). Also MUSS \(\delta\) von \(\epsilon\) abhängen, ganz wichtig. Beim Abschätzen nach oben gegen \(\varepsilon\) versuchst du nun zuerst den Term so umzustellen, dass du im Term \(|x-a|\) erhälst, was du nach oben gegen \(\delta\) abschätzen kannst. Dann wählst du dir dein \(\delta\) "so passend" in Abhängigkeit, dass es sich perfekt zu \(\varepsilon\) ergänzt.
Auf deine Rechnung angewendet ergibt dies:
\(\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}\right|=\left|\sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{x}\right|} -\sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{a}\right|}\right| \leq \sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{a}\right|} =\sqrt[3]{\dfrac{|x-a|}{|x|\cdot |a|}} <\sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|x|\cdot |a|}}\)
An dieser Stelle muss du dann Fallunterscheidung machen für \(|x|\geq 1\) und für \(|x|<1\).
(1) Für \(|x|\geq 1\) wählst du \(\delta=\varepsilon^3 \cdot |a|\). Ja dein \(\delta\) darf auch von \(a\) abhängen. Dann ergibt sich mit der Rechnung zuvor für \(|x|\geq 1\):
\(\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}\right|<\sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|x|\cdot |a|}} \leq \sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|a|}} =\sqrt[3]{\dfrac{\varepsilon^3\cdot |a|}{|a|}} =\sqrt[3]{\varepsilon^3} =\varepsilon\)
(2) Für \(|x|<1\) schaust du mal am besten die letzte Antwort der folgenden Forumsdiskussion an. Dabei wird zwar die Stetigkeit für \(\dfrac{1}{x}\) statt für \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) gezeigt, aber der Gedankengang ist der gleiche.
Wichtig ist also bei Stetigkeitsbeweisen mit \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium immer erstmal den Term so umstellen, dass du irgendwie \(|x-a|<\delta\) abschätzen kannst. Dann schaust wie dein \(\delta\) am besten gewählt werden muss. Gegebenfalls musst du noch eine Fallunterscheidung machen. Das Vorgehen ist dabei ähnlich wie bei der Konvergenz von Folgen. Dort schaust du auch erst, dass du gegen ein von \(\varepsilon\) abhängiges \(N(\varepsilon\) abschätzen kannst und wählst dir dieses dann geschickt um es endgültig gegen \(\varepsilon\) abschätzen zu können.
Ich hoffe ich konnte dir damit ein bisschen Input geben, so dass du das Kriterium besser verstehst und nun auch besser anwenden kannst. Wünsche einen guten Rutsch ins neue Jahr :)
PS: Hier noch zur Illustration der Folgenstetigkeit als alternative Beweisführung ;) :
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\(\Big{|}\sqrt[n]{|\alpha|} - \sqrt[n]{|\beta|} \Big{|} \leq \sqrt[n]{|\alpha-\beta|}\). ─ maqu 30.12.2020 um 23:11
Also in der Aufgabe steht eigentlich zeige dass die Funktion stetig ist, aber nicht auf welchem Bereich (ist ein wenig unglücklich gelöst) daher dachte ich mir ich betrachte ganz IR und schaue wo die Funktion stetig ist, zu beginn dachte ich aufgrund der Aufgabenstellung das das überall sein muss, jedoch kam ich beim Beweis auf die Lösung, dass es nur auf IR \ {0} stetig ist und nun bin ich ein wenig verwirrt, da für mich die Aufgabenstellung eine Stetigkeit auf ganz IR assoziiert. ─ karate 31.12.2020 um 08:43
\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} f(x_n)=\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x_n}} =\ldots =\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=f(a)\)
Wenn du es nun so ähnlich aufschreibst wie bei deinen Betrachtungen zu rechts- und linksseitigen Grenzwert (Limes und Wurzel vertauschen) und dann deine Grenzwertbedingung für \(x_n \longrightarrow a\) einsetzt ist die Sache eigentlich ein Zweizeiler und damit wie @mikn einmal meinte deutlich schneller als mit \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium
@anonym warum fängst du jetzt wieder mit deinen hyperreellen Zahlen an? Hast du dir die restlichen Kommentare nicht durchgelesen? ─ maqu 01.01.2021 um 11:41
also darf ich das direkt so machen wie bei einem der Grenzwerte die ich für 0 gebraucht habe, dann darf ich Lim und Wurzel vertauschen und da a ja nach definition ungleich 0 ist, und die dritte Wurzel stetig ist, darf ich a einfach für \(x_n\) einsetzen und bekomme \(f(a)\). und dann darf ich schlussendlich folgern, dass \(f(x)\) stetig ist für x in IR\{0} ─ karate 01.01.2021 um 11:48
Ich hoffe damit konnte deine Frage zur Stetigkeit nun geklärt werden :) ─ maqu 01.01.2021 um 11:54
Wow vielen Dank für die super ausführliche Antwort.
Okei ja deine Strategie habe ich nun auch im Internet gefunden. Ist dann meine komplett falsch. Denn ich habe einen ähnlichen Beweis für \(x^2\) gefunden im Buch Analysis 1 von Michaels, und er hat es eigentlich auch so gemacht wie ich nun, als ich dieses dann löste kam ich aufs gleiche nur bei dieser Aufgabe mit der Wurzel gab es irgendwie Probleme. Er löst nämlich immer Zuerst die Ungleichung mit Epsilon drin nach x auf und kann dann \(delta_1\) und \(delta_2\) so bestimmen wie ich es versucht habe. ─ karate 30.12.2020 um 22:11