Wie beweise ich ob eine Funktion stetig ist?

Aufrufe: 1417     Aktiv: 01.01.2021 um 12:39

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Hallo Zusammen

Wäre euch wirklich dankbar wenn sich das jemand anschauen könnte und mir so helfen würde.

Ich müsste für die folgende Funktion beweisen, dass sie stetig ist. Im Unterricht haben wir ein Schema für den Delta-Epsilon-Beweis durchgenommen und ich dachte mir ich versuche es genau so, nur irgendwie kommt mir das ein wenig komisch vor und ich weiss nicht ob dieses Schema auch für diese Funktion so klappt.

Wäre euch wirklich dankbar um ein Feedback.

Viele Grüsse und dann natürlich auch schon mal frohes neues Jahr!!

 

 

 

Hier wäre noch die selbe Aufgabe mit Folgen gelöst, bin mir aber nicht ganz sicher, da ich am Schluss auf ein Kontroverses Ergebnis gekommen, bin ich glaube es liegt auch daran dass es nun zu spät ist ;) danke trotzdem wenn sich das jemand anschauen könnte.

 

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Um einmal auf den Beweis mit Hilfe des \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriteriums zu sprechen zu kommen. Wenn du Probleme hast die Definition nachzuvollziehen, will ich sie dir erstmal an folgender Grafik erläutern (das \(p\) ist dein \(a\)!):

Zunächst erst einmal was bedeutet "\(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: \forall x\in \mathbb{R}\) mit \(|x-a|<\delta\) folgt: \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)|". Erst einmal soll deutlich werden, dass das \(\delta\) von \(\varepsilon\) abhängen muss (denn \(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\)), da es laut Definition für alle \(\varepsilon\) ein \(\delta\) geben muss. Schau dir die Grafik dazu an. Wenn es ein \(x\) gibt so dass \(|x-a|<\delta\) erfüllt ist, muss \(x\) im Intervall von \(]p-\delta,p+\delta[\) liegen. \(x\) liegt also innerhalb des "Delta-Schlauchs". Dann soll folgen, dass \(f(x)\) im Intervall von \(]f(p)-\varepsilon,f(p)+\varepsilon\) liegen soll. \(f(x)\) muss dann also innerhalb des "Epsilon-Schlauchs" liegen. Würde \(\delta\) nicht von \(\varepsilon\) abhängen (wäre als ein fester Wert) könnte ich \(\varepsilon\) so kleiner wählen, dass die Funktionswerte von \(f(x)\) entweder vor \(x=p-\delta\) oder bis \(x=p+\delta\) bereits außerhalb des "Epsilon-Schlauchs" liegen würden. Dann wäre aber \(|f(x)-f(a)| \not< \varepsilon\). Also MUSS \(\delta\) von \(\epsilon\) abhängen, ganz wichtig. Beim Abschätzen nach oben gegen \(\varepsilon\) versuchst du nun zuerst den Term so umzustellen, dass du im Term \(|x-a|\) erhälst, was du nach oben gegen \(\delta\) abschätzen kannst. Dann wählst du dir dein \(\delta\) "so passend" in Abhängigkeit, dass es sich perfekt zu \(\varepsilon\) ergänzt.

Auf deine Rechnung angewendet ergibt dies:

\(\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}\right|=\left|\sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{x}\right|} -\sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{a}\right|}\right| \leq \sqrt[3]{\left|\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{a}\right|} =\sqrt[3]{\dfrac{|x-a|}{|x|\cdot |a|}} <\sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|x|\cdot |a|}}\)

An dieser Stelle muss du dann Fallunterscheidung machen für \(|x|\geq 1\) und für \(|x|<1\).

(1) Für \(|x|\geq 1\) wählst du \(\delta=\varepsilon^3 \cdot |a|\). Ja dein \(\delta\) darf auch von \(a\) abhängen. Dann ergibt sich mit der Rechnung zuvor für \(|x|\geq 1\):

\(\left|\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}\right|<\sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|x|\cdot |a|}} \leq \sqrt[3]{\dfrac{\delta}{|a|}} =\sqrt[3]{\dfrac{\varepsilon^3\cdot |a|}{|a|}} =\sqrt[3]{\varepsilon^3} =\varepsilon\)

(2) Für \(|x|<1\) schaust du mal am besten die letzte Antwort der folgenden Forumsdiskussion an. Dabei wird zwar die Stetigkeit für \(\dfrac{1}{x}\) statt für \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) gezeigt, aber der Gedankengang ist der gleiche.

https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=157904&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Wichtig ist also bei Stetigkeitsbeweisen mit \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium immer erstmal den Term so umstellen, dass du irgendwie \(|x-a|<\delta\) abschätzen kannst. Dann schaust wie dein \(\delta\) am besten gewählt werden muss. Gegebenfalls musst du noch eine Fallunterscheidung machen. Das Vorgehen ist dabei ähnlich wie bei der Konvergenz von Folgen. Dort schaust du auch erst, dass du gegen ein von \(\varepsilon\) abhängiges \(N(\varepsilon\) abschätzen kannst und wählst dir dieses dann geschickt um es endgültig gegen \(\varepsilon\) abschätzen zu können.

 

Ich hoffe ich konnte dir damit ein bisschen Input geben, so dass du das Kriterium besser verstehst und nun auch besser anwenden kannst. Wünsche einen guten Rutsch ins neue Jahr :)

 

PS: Hier noch zur Illustration der Folgenstetigkeit als alternative Beweisführung ;) :

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Hallo
Wow vielen Dank für die super ausführliche Antwort.
Okei ja deine Strategie habe ich nun auch im Internet gefunden. Ist dann meine komplett falsch. Denn ich habe einen ähnlichen Beweis für \(x^2\) gefunden im Buch Analysis 1 von Michaels, und er hat es eigentlich auch so gemacht wie ich nun, als ich dieses dann löste kam ich aufs gleiche nur bei dieser Aufgabe mit der Wurzel gab es irgendwie Probleme. Er löst nämlich immer Zuerst die Ungleichung mit Epsilon drin nach x auf und kann dann \(delta_1\) und \(delta_2\) so bestimmen wie ich es versucht habe.
  ─   karate 30.12.2020 um 22:11

okei also ich sehe diese Herangehensweise lässt zu wünschen übrig, also dann würdest du mir diese empfehlen, die @maqu vorgeschlagen hat. sprich: 1. |x-a| kleiner als delta festlegen dann |f(x)-f(a)| kleiner als epsilon so lange umformen, bis wir delta einsetzen können, und dann schauen dass delta in Abhängigkeit von epsilon und evt. a definiert werden kann?   ─   karate 30.12.2020 um 22:29

sorry irgendwie zeigt es bei mir nicht mehr meinen ganzen Kommentar an (wenn ihr ihn nicht seht bitte melden dann schreibe ich es nochmals). Ich frage bezüglich der Herangehensweise eben, da ich es noch recht schwer finde mit all diesen Abschätzungen das richtige zu machen, da wäre ein "mögliches" Schema schon schön .   ─   karate 30.12.2020 um 22:31

habe ihn bearbeitet. Bei mir ist wirklich das Problem mit diesen beweisen (sei es Konvergenz einer Funktion, Stetigkeit einer Funktion oder gleichmässige Stetigkeit mit diesem delta epsilon Kriterium) da sehe ich einfach nicht genau wie ich das anpacken kann   ─   karate 30.12.2020 um 22:42

okei, aber ist es korrekt, dass ich prinzipiell alle gleich behandeln kann? also meine alle 3 Beweise die man auch mit delta-epsilon machen kann   ─   karate 30.12.2020 um 22:51

Wow da schaut man mal eine Dreiviertel Stunde nicht rein und hier wird heiß kommentiert :) .... @mikn danke für die Verbesserung, meine Argumente ziehen nur für \(a>0\), sonst könnte ich den Betrag im zweiten Schritt nicht setzen ... ging die Frage auch an mich, warum ich den ersten \(\leq\)-Schritt machen darf? ... @karate beim \(\varepsilon\)-Beweisen egal ob Grenzwert, Stetigkeit oder gleichmäßige Stetigkeit verhält es sich ähnlich mit dem Abschätzen von Summen, nur durch üben von ausreichend Beispielen wird man "stetig" sicherer darin und hat eventuell schneller eine Idee, wie man auf den entscheidenden Schritt kommt ... eine universelle Herangehensweise gibt es nicht   ─   maqu 30.12.2020 um 22:59

aber ich kann mich so grob an deine schritte halten wenn ich das richtig verstanden habe.   ─   karate 30.12.2020 um 23:05

@mikn ok meines Erachtens gilt für \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) und für alle \(n\in \mathbb{N}\):
\(\Big{|}\sqrt[n]{|\alpha|} - \sqrt[n]{|\beta|} \Big{|} \leq \sqrt[n]{|\alpha-\beta|}\).
  ─   maqu 30.12.2020 um 23:11

@mikn: Also du meinst dass ich mir dann eine beliebige Folge \(x_n\) wähle (natürlich nur formal nicht explizit) für die gilt, dass gilt \(x_n->a\) und muss zeigen dass \(lim n->∞ (x_n) = f(a)\) dann darf ich ja alle Sätze und Resultate brauchen die auch für Folgen gelten.   ─   karate 30.12.2020 um 23:13

@karate wenn du mich fragst kannst du so argumentieren ... bloß den Fall \(|x|<1\) solltest du dir noch einmal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen, wie dort dein \(\delta\) gewählt werden muss   ─   maqu 30.12.2020 um 23:13

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@karate ich kann @mikn dahingehend auch nur recht geben, dass man mit der Folgenstetigkeit durchaus leichter ans Ziel kommen kann ... ich bin allerdings auf die \(\varepsilon-\delta\)-Definition eingegangen, weil dies ja deine Ausgangsfrage war und meiner Meinung unnötig lange über hyperreelle Zahlen philosophiert wurde   ─   maqu 30.12.2020 um 23:17

ja natürlich habe das f(...) vergessen sorry. Aber das heisst dann wenn ich meine folge in die Funktion einsetze bekomme ich ja eigentlich wieder eine Folge oder? dann darf ich diese neu bekommene folge auch wiederum mit dem Polizistensatz (Sandwichkriterium oder wie auch immer) und mit l'Hôpital berechnen.   ─   karate 30.12.2020 um 23:18

@maqu was für ein toller Kommentar, habe fast Kopfschmerzen nach dieser ersten Antwort bekommen. Ja also ich versuche das ganze nochmals mit folgen zu berechnen und schaue ob es dann klappt. Sonst würde ich mich gerne nochmals melden (wirklich tolle Community und gute Gespräche, ich schätze das sehr)!!!   ─   karate 30.12.2020 um 23:20

was kam dabei raus?   ─   karate 30.12.2020 um 23:21

@karate immer gern :) ... ich kann dir auch gleich nochmal eine Grafik zum besseren Verständnis für die Folgenstetigkeit an meine Antwort anhängen, wie man da ran geht würde ich da jetzt mal auslassen, damit du dich erstmal selbst probieren kannst ;) .... und was @mikn zur vergangenen Diskussion meinte: Im Umgang mit L'Hospital wäre ich auch vorsichtig, dieser wird gerne zu schnell verwendet, wo es doch manchmal auch ohne geht bzw. gehen muss   ─   maqu 30.12.2020 um 23:24

@maqu gerne mach das. also wäre es okei wenn ich mein Resultat, das ich bekomme mit der Folgenstetigkeit noch hier hineinstellen würde oben in der Frage und sich das jemand von euch anschauen könnte denn wir sind gerade so im Thema drin.   ─   karate 30.12.2020 um 23:26

ich finde es auch bemerkenswert, dass hier am Abend noch so die Post abgeht :D ... @karate du kannst deine Resultate dann hier gerne noch mit reinstellen ... wenn du ein Foto hochladen willst, musst du deine anfängliche Frage bearbeiten und dann ein kurzes Kommentar da lassen, dann wird es jedem von uns angezeigt   ─   maqu 30.12.2020 um 23:31

super mache ich sehr gerne!! vielen Dank euch allen!   ─   karate 30.12.2020 um 23:33

@karate hab die Antwort um die Grafik jetzt ergänzt ;) .... @cauchy kann gut sein^^... mich hat auch die Langeweile hier ins Forum getrieben und weil ich den Schülerinnen und Schülern, welche leider hier echt die leittragenden sind, unentgeltlich helfen wollte .... aber ich muss aufpassen dass ich es nicht übertreibe :D, meine Frau hat schon ein-zwei mal mit mir geschimpft das ich manchmal nicht antworte weil ich zu sehr mit den Gedanken in manchen Aufgaben stecke :D   ─   maqu 30.12.2020 um 23:43

wow ihr seid wirklich toll. vielen Dank für die Illustration!   ─   karate 30.12.2020 um 23:50

@karate immer gern ;D .... wenn ich noch einen persönlichen Tipp geben darf, der nichts mit deiner Frage zu tun hat ... du bist ja noch im ersten Semester, hast du dich schon mal mit LaTeX als Texsatzsystem auseinandergesetzt? ich weis am Anfang des Studiums hat mit viel um die Ohren, aber wenn du da einigermaßen fit drin bist, kannst du deine Vorlesungsaufzeichnungen nachhaltig digital verfassen und selbst damit auch solche Grafiken erstellen ;) .... positiver Nebeneffekt du kannst hier auch alle möglichen Gleichungen mit Hilfe der LaTeX-Syntax posten .... wie gesagt kein Muss aber ich kann es allen Studierenden mathematischer Studiengänge nur ans Herz legen :)   ─   maqu 30.12.2020 um 23:59

okei nein habe ich noch nicht, muss ich mir aber dann mal in einer freien Minute anschauen tönt super.   ─   karate 31.12.2020 um 00:19

Also ich habe nun noch kurz meine 2. Version hochgeladen, wie schon beschrieben bin ich nun recht müde weshalb wahrscheinlich dieses Kontroverse Ergebnis herauskam. Trotzdem wollte ich die Aufgabe irgendwie abschliessen und habe sich mal so gesendet.   ─   karate 31.12.2020 um 00:22

@karate ok ich muss gestehen es ist schon spät und ich bin nicht mehr ganz auf der Höhe :D .... aber zuerst muss ich dich jetzt nochmal fragen, was du zeigen möchtest: Das \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht stetig ist (was du hier tust, wenn du zeigst, dass es in \(x=0\) nicht stetig ist)? Oder das \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) auf \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) stetig ist (also auf ihrem Definitionsbereich stetig ist). Ich dachte eigentlich du wolltest zweiteres zeigen, willst deinen angehängten Beweis aber für ersteres führen. .... und ja, du darfst Limes und Wurzel nur vertauschen, wenn es stetig ist ... aber was willst du denn dann zeigen o.O? .... stetig über den Definitionsbereich oder nicht stetig in \(\mathbb{R}\) o.O? Vielleicht sollten wir alle ne Mütze schlaf nehmen und morgen weiter daran arbeiten deine Fragen zu klären :)   ─   maqu 31.12.2020 um 00:35

Guten Morgen zusammen
Also in der Aufgabe steht eigentlich zeige dass die Funktion stetig ist, aber nicht auf welchem Bereich (ist ein wenig unglücklich gelöst) daher dachte ich mir ich betrachte ganz IR und schaue wo die Funktion stetig ist, zu beginn dachte ich aufgrund der Aufgabenstellung das das überall sein muss, jedoch kam ich beim Beweis auf die Lösung, dass es nur auf IR \ {0} stetig ist und nun bin ich ein wenig verwirrt, da für mich die Aufgabenstellung eine Stetigkeit auf ganz IR assoziiert.
  ─   karate 31.12.2020 um 08:43

@karate tatsächlich muss dies eigentlich in der aufgabenstellung erkennbar sein .... einige funktionen sind (wie dein Beispiel) in allen punkten ihres definitionsbereich stetig und nur in ihren definitionslücken nicht stetig ... da deine ursprüngliche aufgabe war, zu zeigen dass \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) stetig ist, gehe ich davon aus, dass dies auf ihren definitionsbereich bezogen ist .... auf die menge der kompletten reellen zahlen wäre sie unstetig, da links- und rechtsseitiger grenzwert im punkt der definitionslücke ungleich sind (wie du gezeigt hast) .... wenn du jetzt mit hilfe der folgenstetigkeit zeigen willst, dass die funktion in allen punkten \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) stetig ist, musst du das also allgemein für \(a\) aus dem definitionsbereich aufzeigen .... klärt das erstmal deine verständnisfrage?   ─   maqu 31.12.2020 um 09:22

@maqu okei also wenn ich das richtig verstanden habe, habe. ich nun richtig gezeigt, dass die Funktion an der stelle 0 nicht stetig ist. Genügt es für die anderen Stellen nicht, wenn ich sage dass \(\sqrt[3]{1/x}\) für alle \(x≠0\) stetig ist, da ja \(1/x\) stetig ist für alle \(x≠0\) und \(\sqrt[3]{q}\) für alle \(q\) stetig ist, das heisst ihre Komposition muss doch an den gemeinsamen stetigen Stellen auch stetig sein? muss ich da auch zeigen dass: Sei \(x_n\) eine Folge mit \(x_n ->a, x_n≠a, a≠0\) für diese gilt dass \(f(x_n) -> f(a)\)   ─   karate 01.01.2021 um 09:43

Du kannst gar nicht zeigen, ob die Funktion an der Stelle \(0\) stetig ist, da sie hier nicht einmal definiert ist   ─   anonym0165f 01.01.2021 um 09:55

nein, ich habe ja gezeigt, dass der rechts und linksseitige Grenzwert an der stelle 0 ungleich ist und daher die Funktion an der stelle 0 nicht stetig ist. mir geht es eher um die restlichen \(a≠0\).   ─   karate 01.01.2021 um 10:15

Jetzt verstehe ich was du meinst. Du hast gezeigt, dass die Funktion beliebig nahe an der \(0\) nicht stetig ist. Aussagen über die Stelle \(0\) kannst du aber wie gesagt nicht treffen, da diese nicht definiert ist, sondern nur über beliebig nahe Zahlen, die also einen infinitesimalen Abstand zur \(0\) haben. Aber ansonsten ist deine Denkweise korrekt   ─   anonym0165f 01.01.2021 um 11:02

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@karate gesundes neues erstmal zu deinem letzten Kommentar an mich ... genau ... jetzt muss du es nur nochmal richtig aufschreiben. Also für alle \(x_n\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) soll gelten \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} x_n=a\). Damit soll nun folgen:
\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} f(x_n)=\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x_n}} =\ldots =\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=f(a)\)
Wenn du es nun so ähnlich aufschreibst wie bei deinen Betrachtungen zu rechts- und linksseitigen Grenzwert (Limes und Wurzel vertauschen) und dann deine Grenzwertbedingung für \(x_n \longrightarrow a\) einsetzt ist die Sache eigentlich ein Zweizeiler und damit wie @mikn einmal meinte deutlich schneller als mit \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium

@anonym warum fängst du jetzt wieder mit deinen hyperreellen Zahlen an? Hast du dir die restlichen Kommentare nicht durchgelesen?
  ─   maqu 01.01.2021 um 11:41

@maqu danke das wünsche ich dir auch!!
also darf ich das direkt so machen wie bei einem der Grenzwerte die ich für 0 gebraucht habe, dann darf ich Lim und Wurzel vertauschen und da a ja nach definition ungleich 0 ist, und die dritte Wurzel stetig ist, darf ich a einfach für \(x_n\) einsetzen und bekomme \(f(a)\). und dann darf ich schlussendlich folgern, dass \(f(x)\) stetig ist für x in IR\{0}
  ─   karate 01.01.2021 um 11:48

@karate genau so :) .... das kannst du so machen, weil du halt nur den Definitionsbereich \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) betrachtest. Für ganz \(\mathbb{R}\) würde du zeigen das \(f(x)\) nicht stetig wie du es mit links- und rechtzeitigen Grenzwert gemacht hattest ... deswegen immer genau schauen auf welche die Stetigkeit (bzw. nicht Stetigkeit) zu zeigen ist ;)
Ich hoffe damit konnte deine Frage zur Stetigkeit nun geklärt werden :)
  ─   maqu 01.01.2021 um 11:54

verrückt^^... obwohl ich eine Nachricht bekommen habe das du meine Antwort akzeptiert @karate und ich auch die Punkte dafür erhalten habe, wird anonym Antwort als akzeptiert angezeigt ... naja Hauptsache die Frage wurde geklärt :D   ─   maqu 01.01.2021 um 12:07

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ja jetzt ist alles klar! vielen herzlichen Dank euch allen und bis zum nächsten Mal.   ─   karate 01.01.2021 um 12:12

Immer gern :)   ─   maqu 01.01.2021 um 12:39

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