Beweisen mit Hilfe von Ober- bzw Untersummen

Aufrufe: 57     Aktiv: 17.05.2021 um 10:26

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Aufgabe:

Sein \(H_{n} = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\). Beweisen Sie mit Hilfe der Ober- bzw. Untersummen, dass die folgenden ungleichungen gelten:

\(\int_{1}^{n} \frac{dx}{x} \ge H_{n} -1\) und  \(\int_{1}^{n} \frac{dx}{x} \le H_{n-1}\)

Folgern Sie daraus, dass \(a_{n} := H_{n} - ln(x)\) für alle \(n \ge 1 \) im Einheitsintervall \([0, 1]\) liegt und zeigen Sie, dass \((a_{n})_{n \ge 1}\) eine monoton fallende Folge ist.

Frage:
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man hier vorgehen kann? Vor allem beim ersten Teil dieser Aufgabe weiß ich nicht wirklich wie man das angehen soll.
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2 Antworten
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Zerteile das Intervall \([1,n]\) in Intervalle der Länge \(1\) und schätze das Integral jeweils durch eine Ober- und Untersumme ab. (Mach dir zuerst eine Skizze.) Dadurch erhälst du die beiden Ungleichungen. Als nächstes berechne dann das Integral direkt.
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\(U=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}\cdot 1;O=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\cdot 1\Rightarrow \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}<\int_1^n\frac{1}{x}dx < \sum_1^n \frac{1}{k}\iff\)
\(H_n-1<\int_1^n\frac{1}{x}dx < H_n\)
das stimmt aber nicht mit den Annahmen der Aufgabe überein
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Lehrer/Professor, Punkte: 3.29K
 

Die Summen sollten jeweils nur bis \(n-1\) gehen, denn es gibt nur \(n-1\) Intervalle der Länge \(1\) im Intervall \([1,n]\).   ─   stal 17.05.2021 um 10:26

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