Bijektion, Injektivität, Surjektivität bei verketteten Funktionen.

Aufrufe: 592     Aktiv: 19.11.2021 um 14:45
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Hallo,
ich hätte eine Frage bezüglich der Verkettung von Funktionen:
Injektivität, Surjektivität, Bijektivität I Bearbeiten I Quelltext bearbeiten ] Wichtige Eigenschaften, die eine Funktion f: A B besitzen kann, sind • Injektivität (kein Element in B wird mehrtacn angenommen), • Surjektivität (jedes Element in B wird angenommen), • al]ektlvltät (jedes Element in B wird angenommen, und keins wird menrtacn angenommen). Jede dieser Eigenscnanen überträgt sich auf die Verkettung, es gilt also: • Die Komposition injektiver Funktionen ist injektiv. • Die Komposition surjektiver Funktionen ist surjektiv. • Die Komposition bijektiver Funktionen ist bijektiv. umgekehä gilt: Ist eine Verkettung 9 0 f • injektiv, so ist f injektiv. • surjektiv, so ist g surjektiv. • bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv_
Laut Wikipedia ist eine verkettete Funktion g o f injektiv, wenn nur f injektiv ist (vgl. letzten Absatz). Was gilt dann für g? Ist g dann weder injektiv noch bijektiv?
Komischer Weise steht zuvor, dass eine Verkettung injektiv ist, wenn die Funktionen injektiv sind (also f und g injektiv sind).

Analog gilt die Frage ebenfals der Surjektivität (vgl. ebenfalls letzten Absatz): g o f surjektiv, dann ist g surjektiv (was ist dann f?)
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Student, Punkte: 20

 
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1 Antwort
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Für $f$ und $g$ kannst du dann keine Aussage machen. Die können dann alles sein. Aber das, was in der Aussage steht, gilt mit Sicherheit.

Die Aussage, die vorher steht, ist eine andere. Das sind zwei verschiedene Implikationen. Bitte immer unterscheiden. Nur, weil $A \Rightarrow B$ gilt, heißt das nicht, dass $B \Rightarrow A$ gilt. Und widersprechen tut sich da auch nichts.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Also wenn ich bestimmen müsste, z. B. wenn h(x) = g(f(x)) surjektiv sei, dann könnte ich nur behaupten, dass (nur die Funktion) g surjektiv ist. Zu f könnte ich somit nichts sagen. Habe ich es somit korrekt Verstanden?   ─   anonym2555d 19.11.2021 um 14:29
Vielen Dank   ─   anonym2555d 19.11.2021 um 14:45

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.