Injektiv, Surjektiv beweisen

Aufrufe: 1191     Aktiv: 16.10.2020 um 16:42
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Hi,

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Bei c) und d) weiß ich gar nicht wie ich das mit meiner oben dargestellten Abbildung beweisen bzw. angehen soll.

Wäre super, wenn ihr mir da aufs Pferd helfen könntet.

Danke schon mal im Voraus!

 

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Student, Punkte: 51

 
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Zu c) Da f linear ist, gilt: f injektiv \(\iff Kern(f) =\{0\}\), d.h. Kern besteht nur aus dem Nullvektor.

Zu d) Dimensionssatz anwenden, um \( \dim Bild(f)\) zu berechnen. Andererseits kennst du letzteres auch schon aus b). Mit der Kenntnis von \(\dim M_{23}\) sollte dann klar sein, ob f surjektiv ist oder nicht.

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Ich bin jetzt hingegangen und habe mir die Dimension meiner 2x2 Matrix angeguckt, wäre in dem Fall = 4. Die Matrix \(M_{23}\) hat dann doch die Dimension 6. Da diese Dimensionen auseinander laufen wäre f in dem Fall nicht surjektiv.   ─   anonym4fb50 16.10.2020 um 16:07

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Hi, die Definition von injektiv besagt, dass die Elemente der Zielmenge \(höchstens\) ein Urbild haben dürfen. Eine Funktion ist surjektiv, wenn die Elemente der Zielmenge \(mindestens\) ein Urbild besitzen.

Um die Injektivität zu widerlegen, reicht es, wenn du zwei Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich findst mit \(A\neq B\) und \(f(A)=f(B)\). 

Um die Surjektivität zu widerlegen, reicht es, wenn du eine Matrix \(C\) aus der Zielmenge findest, die kein Urbild besitzt, d.h. auf die nicht durch \(f\) abgebildet wird. 

Um die Injektivität zu beweisen, suchst du dir zwei beliebige (!) Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich und zeigst, dass \(f(A)=f(B)\) nur dann gilt, wenn auch \(A=B\) gilt

Um die Surjektivität zu beweisen, suchst du dir eine beliebige (!) Matrix aus der Zielmenge und zeigst, dass diese ein Urbild besitzt.  

Hilf dir das vielleicht schon weiter?

Liebe Grüße :)

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Student, Punkte: 489

 
Hey, danke dir schon mal für diese super Erklärung! Ich kam gestern leider nicht mehr groß dazu und muss mich einmal mit den Begrifflichkeiten in deiner Erläuterung auseinandersetzen. Wenn ich, wie du schon erwähnt hast, zeigen möchte, dass mein \(f\) injektiv ist, müsste ich doch zwei beliebige Matritzen finden, für die gilt \(A=B \land f(A) = f(B) \). An sich würde ich sagen das geht nicht auf, wenn ich in Betracht ziehe, dass ich ja beliebige Matrizen nehmen soll. Oder ist \(A=B\) ebenfalls "beliebig" gewählt dann und zulässig?   ─   anonym4fb50 16.10.2020 um 09:30
Also bei der Injektivität fängst du am besten damit an, dass du mit \(f(A)=f(B)\) mit zwei belibigen Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich anfängst und daraus ableitest, dass dann \(A\neq B\) gelten muss. Dann wäre die Abbildung injektiv. Aber es wurde gerade noch eine super Antwort gepostet, bei der du die Injektivität mithilfe des Kerns beweisen kannst. Dieses wäre in diesem Fall einfacher.   ─   student201 16.10.2020 um 11:16

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