Injektiv, Surjektiv beweisen

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Hi,

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Bei c) und d) weiß ich gar nicht wie ich das mit meiner oben dargestellten Abbildung beweisen bzw. angehen soll.

Wäre super, wenn ihr mir da aufs Pferd helfen könntet.

Danke schon mal im Voraus!

 

gefragt 3 Monate, 1 Woche her
anonym
Student, Punkte: 51

 
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2 Antworten
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Zu c) Da f linear ist, gilt: f injektiv \(\iff Kern(f) =\{0\}\), d.h. Kern besteht nur aus dem Nullvektor.

Zu d) Dimensionssatz anwenden, um \( \dim Bild(f)\) zu berechnen. Andererseits kennst du letzteres auch schon aus b). Mit der Kenntnis von \(\dim M_{23}\) sollte dann klar sein, ob f surjektiv ist oder nicht.

geantwortet 3 Monate, 1 Woche her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.14K
 

Ich bin jetzt hingegangen und habe mir die Dimension meiner 2x2 Matrix angeguckt, wäre in dem Fall = 4. Die Matrix \(M_{23}\) hat dann doch die Dimension 6. Da diese Dimensionen auseinander laufen wäre f in dem Fall nicht surjektiv.   ─   anonym 3 Monate, 1 Woche her

Ja, so einfach ist das. Es ist aber wichtig die Begriffe auseinanderzuhalten: Matrizen haben keine Dimension. Die RÄUME \(M_{22}\) bzw. \(M_{23}\) haben die genannte Dimension. Und das "auseinanderlaufen" sollte man noch math. formulieren (mit dem Dimensionssatz z.B.).   ─   mikn 3 Monate, 1 Woche her
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Hi, die Definition von injektiv besagt, dass die Elemente der Zielmenge \(höchstens\) ein Urbild haben dürfen. Eine Funktion ist surjektiv, wenn die Elemente der Zielmenge \(mindestens\) ein Urbild besitzen.

Um die Injektivität zu widerlegen, reicht es, wenn du zwei Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich findst mit \(A\neq B\) und \(f(A)=f(B)\). 

Um die Surjektivität zu widerlegen, reicht es, wenn du eine Matrix \(C\) aus der Zielmenge findest, die kein Urbild besitzt, d.h. auf die nicht durch \(f\) abgebildet wird. 

Um die Injektivität zu beweisen, suchst du dir zwei beliebige (!) Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich und zeigst, dass \(f(A)=f(B)\) nur dann gilt, wenn auch \(A=B\) gilt

Um die Surjektivität zu beweisen, suchst du dir eine beliebige (!) Matrix aus der Zielmenge und zeigst, dass diese ein Urbild besitzt.  

Hilf dir das vielleicht schon weiter?

Liebe Grüße :)

geantwortet 3 Monate, 1 Woche her
student201
Student, Punkte: 474
 

Hey, danke dir schon mal für diese super Erklärung! Ich kam gestern leider nicht mehr groß dazu und muss mich einmal mit den Begrifflichkeiten in deiner Erläuterung auseinandersetzen. Wenn ich, wie du schon erwähnt hast, zeigen möchte, dass mein \(f\) injektiv ist, müsste ich doch zwei beliebige Matritzen finden, für die gilt \(A=B \land f(A) = f(B) \). An sich würde ich sagen das geht nicht auf, wenn ich in Betracht ziehe, dass ich ja beliebige Matrizen nehmen soll. Oder ist \(A=B\) ebenfalls "beliebig" gewählt dann und zulässig?   ─   anonym 3 Monate, 1 Woche her

Also bei der Injektivität fängst du am besten damit an, dass du mit \(f(A)=f(B)\) mit zwei belibigen Matrizen \(A\) und \(B\) aus dem Definitionsbereich anfängst und daraus ableitest, dass dann \(A\neq B\) gelten muss. Dann wäre die Abbildung injektiv. Aber es wurde gerade noch eine super Antwort gepostet, bei der du die Injektivität mithilfe des Kerns beweisen kannst. Dieses wäre in diesem Fall einfacher.   ─   student201 3 Monate, 1 Woche her
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