Lipschitz-Stetigkeit einer Differentialgleichung bestimmen?

Aufrufe: 265     Aktiv: 28.09.2023 um 13:48
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Wie bestimme ich die L-Stetigkeit einer DGl lokal/global?
Die Voraussetzungen sind mir bekannt:
||f(t,y)-f(t, ỹ)|| ≤ L * ||y-ỹ|| mit L ≥ 0

Wenn ich nun aber als DGl y(t)'= μy-λy^2 und als Lösung y(t)=1/c*e^(-μt) + (λ/μ) habe, wie sage ich dann etwas zur Lipschitz-Stetigkeit aus und wie funktioniert das im generellen?

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1 Antwort
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Kläre erstmal die Begriffe: Ein Dgl ist nicht L-stetig, und mit der Lösung hat das auch nichts zu tun. Du hast die Bedingung richtig notiert. Was f ist, steht in der Dgl auf der rechten Seite. Schaue die Def. einer Dgl genau(!) in Deinen Unterlagen nach.
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Das habe ich gemacht, jedoch bringt mich das auf keinen neuen Gedanken, was mit der Lipschitz-Stetigkeit zu tun hat.   ─   mathematiker3141 26.09.2023 um 18:49
Wie lautet denn Dein f? Und was ist die Aufgabenstellung (vollständig bitte, im Original)?   ─   mikn 26.09.2023 um 20:49
Naja unser f(t,y) wäre ja μy-λy^2. Eine konkrete Aufgabenstellung gibt es nicht. Das ist eine Frage aus Gedächtnisprotokollen zu einer mündlichen Prüfung gewesen. Es geht darum die DGl zuerst zu lösen, zu prüfen, ob lokal oder global L-stetig, und eventuell ein L zu bestimmen.   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 10:53
Ok, aber wo ist jetzt das Problem? Dein f ist richtig, einsetzen in die Bedingung zeigt (3.bin. Formel hilft), dass f nicht global L-stetig ist, aber lokal (beim beschränktem y).   ─   mikn 27.09.2023 um 11:28
Genau das ist ja mein Problem. Ich setze dann für das f(t,y) meine Werte ein und tausche das y beim zweiten Teil durch ein ỹ? Wie gehts dann weiter? Dann kann man umformen, aber wie bringt mich das zur Lösung?   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 11:58
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Du bildest die linke Seite der L-Abschätzung. Dann klammert man $y-\tilde y$ aus (Ziel: rechte Seite).   ─   mikn 27.09.2023 um 12:03
Okay, wir haben dann also ||(y-ỹ)(μ-λy)||≤L||y-ỹ||.
Global Lipschitz-stetig ist es nicht, weil L noch von y abhängt? Aber lokal, da wir ein L finden können L≥ μ-λy?   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 13:46
Da hast du nicht richtig gerechnet. Setze sorgfältig ein usw. (s.o.), schätze nach oben ab und gib L an. Lade deine Rechnung oben hoch.   ─   mikn 27.09.2023 um 15:55
Wie man eine gescheite Rechnung hochlädt weiß ich nicht, allerdings kam ich nun auf (y-ỹ)(y+ ỹ)(μ-λ) durch das Ausklammern. Nur habe ich in meiner Rechnung jetzt immernoch das Problem, dass μy^2 -λy^2-μỹ^2+λỹ^2 dabei rauskommen würde und wir bei den μy^2 nur ein μy haben wollen. Irgendwo stehe ich total auf dem Schlauch…   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 19:52
Auch das stimmt nicht. Keine Ahnung, was Du da rechnest. Dann schreib doch Deine Umformung hier rein.
Und verstehe ich Dich richtig, dass Du erst ausklammerst, um dann wieder auszumultizieren? Kommt Dir das zielgerichtet vor? Hab doch oben erklärt, warum man ausklammern will.   ─   mikn 27.09.2023 um 19:56
Ich kam nun auf (y-ỹ)((y+ ỹ)λ-μ). Mir ist es kurz danach aufgefallen. Das würde endlich funktionieren. Unser L ist also eigentlich abhängig von beiden y. Was bedeutet das für uns?   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 20:00
Das Ausklammern und dann wieder Ausmultiplizieren war zum Überprüfen der Korrektheit. Das kommt mir sehr zielgerichtet vor. Warum wir ausklammern möchten, ist mir an sich wohl bewusst :)   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 20:01
Ok, jetzt stimmt der Term. Wie lautet dann die Abschätzung, und wie L? Was man danach(!) abliest, steht im meiner dritten Anmerkung in diesem Dialog hier.   ─   mikn 27.09.2023 um 20:18
Wir haben jetzt 0≤||((y+ ỹ)λ-μ)||≤L. Meine Frage ist, wieso das nun lokal Lipschitz-stetig ist. Eine einfache Erklärung des Ganzen würde mir eigentlich zum Verständnis reichen. Wenn ich abschätzen muss, wie sähe das dann aus und woran erkenne ich dann, dass hier keine globale sondern lokale L-Stetigkeit vorliegt?   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 20:31
Das ist eine Ungleichung. L ist eine Zahl, die haben wir noch nicht. An dieser Zahl sieht man dann alles, s.o.. Wenn Du Zusatzbedingungen benötigst, um L zu definieren, dann mach das.   ─   mikn 27.09.2023 um 21:04
Okay, das hilft mir beim besten Willen nicht weiter. Da fehlt mir absolut der Ansatz für   ─   mathematiker3141 27.09.2023 um 21:21
Wir brauchen eine Zahl L oder, als Vorstufe, einen Term. Also, welcher Term für L würde die Bedingung erfüllen und wie käme man damit auf eine Zahl für L? Wo es in unserem Dialog steht, hab ich ja schon gesagt.   ─   mikn 27.09.2023 um 22:54
Auch nach mehrmaligem Lesen unseres Dialogs weiß ich es nicht.   ─   mathematiker3141 28.09.2023 um 11:19
Welche Stelle des Dialogs meine ich genau (nur um sehen, dass Du die Hinweise genau liest)? Da steht die Bedingung. Aber vorher(!) musst Du Dich bez. L auf eine Zahl oder einen Term festlegen, der dann weiter untersucht wird.   ─   mikn 28.09.2023 um 11:21
Den Term, den ich mir anschauen würde, wäre immernoch ||((y+ ỹ)λ-μ)||≤L. Sie hatten was von 3.binomischer Formel geschrieben. Was ich mit der noch anstellen soll, wüsste ich nicht. Ansonsten muss man nun abschätzen. Das ist allerdings keine meiner Stärken   ─   mathematiker3141 28.09.2023 um 12:01
Könnte man sagen, dass ỹ –> y konvergiert und wir dann (y^2(λ-μ)) haben? Praktisch wäre L dann beschränkt durch y^2 λ und y^2 μ?   ─   mathematiker3141 28.09.2023 um 12:07
Das ist ein Term, keine Ungleichung. Kläre die Begriffe. Ich kann mich hier nur wiederholen, und dadurch wird der Dialog ellenlang.
Dann mach erst vollständig und sorgfältig folgende Vorübung: Prüfe, ob die Funktion f(x)=5x+7 lokal oder global L-stetig ist. Ich warte auf die komplette Lösung dazu.
Mit Konvergenz haben wir hier nichts zu tun. Wenn Du die Dinge komplizierter machen willst, haben wir unterschiedliche Ziele.   ─   mikn 28.09.2023 um 12:08
Ich glaube wir kommen hier auf keine Lösung mehr. Danke für den Versuch   ─   mathematiker3141 28.09.2023 um 13:41
Ich hab's ja weiter versucht, aber wenn Du jetzt aufgibst, ist meine Hilfe umsonst. Aber das ist das Risiko hier, schon ok. - Melde Dich gerne wieder, wenn Du Dich auf meine Hilfe einlassen möchtest ("Vorübung").   ─   mikn 28.09.2023 um 13:48

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