Folgenkompaktheit, Abgeschlossenheit, Beschränktheit

Erste Frage Aufrufe: 97     Aktiv: 11.09.2022 um 21:16

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Ist diese Äquivalenz über Intervalle in den reellen Zahlen richtig?
abgeschlossen und beschränkt <=> folgenkompakt.
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Student, Punkte: 16

 
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Ja, es stimmt sogar für beliebige Mengen in \(\mathbb{R}\) und sogar in \(\mathbb{R}^n\)!  Von rechts nach links gilt in jede metrische Raum und von links nach rechts folgt es aus dem Satz von Bolzano-Weierstrass. Brauchst du einen Beweis (sehr leicht)? Manchmal man nennt diese Äquivalenz Satz von Heine-Borel
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Student, Punkte: 9.54K

 

Danke, das reicht mir, glaub ich. Folgt ja eigentlich direkt aus dem dem Satz von Bolzano-Weierstraß oder?   ─   emiliahlg 11.09.2022 um 18:38

Ja!   ─   mathejean 11.09.2022 um 21:16

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