Guten Tag, 
da ich keine Lösungen bereit habe wollte ich mal eine Meinung einholen ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe:

Zur Aufgabe: 

a) Bestimme den Parameter \( \alpha  \) so, dass f als die Dichtefunktion einer stetig verteilten Zufallsvariable X verwendet werden könnte.

Meine Lösung:
Ansatz: Integral der Dichtefunktion ist 1 und f nicht-negativ von [-1,1] somit muss \( \alpha \) dies sicherstellen.

Wir bilden die Stammfunktion der Dichtefunktion f:   F(x) = \(\alpha\)  ( \(  \frac{x^3}  {3} \)   -x ) + c

Wir bestimmen den Wert des Integrals von -1 bis 1: 
\( \alpha ( \frac {1}{3} - 1 ) - \alpha ( \frac {-1}{3} + 1) \) 
=> \( \alpha ( \frac {-2}{3} + \frac {1}{3} - \frac {3}{3}) = \frac {-4}{3} \alpha \) 
Dieser soll 1 sein also folgt: \( \alpha = \frac{-3}{4} \)

b) Die folgenden aufgaben beziehen sich auf Teil a)
i) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable X 

Wir bestimmen das Integral von x f(x) dx.
\( E(X) =  \int_{-1}^1 x f(x) dx = \frac {-3}{4} ( \frac {1}{4} - \frac {1}{2} ) + \frac {3}{4} ( \frac {1}{4} - \frac {1}{2}) = \frac {3}{16} - \frac {3}{16} = 0 \)

ii) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable \( X^2 \)

Wir bestimmen das Integral von \( x^2 f(x) dx \).
\( E(X^2) =  \int_{-1}^1 x^2 f(x) dx = \frac {-3}{4} ( \frac {1}{5} - \frac {1}{3} ) + \frac {3}{4} ( \frac {-1}{5} + \frac {-1}{3}) = \frac {-3}{20} + \frac {-3}{12} + \frac {-3}{12} - \frac {-3}{20} = \frac {6}{12} - \frac {6}{20} = \frac {1}{5}\)
iii) Bestimmen Sie die Varianz der Zufallsvariable X

Rechenregeln für die Varianz => \( var(x) = E(X^2) - E(X)^2 = 1/5 - 0^2 \)

c) Sei F die Verteilungsfunktion der oben gegebenen Funktion f. Bestimmen Sie: 
F(0.5) und F(42).



F(0.5) = 11/32  [27/32]
F(42) = 0  [1]

EDIT: in [] meine Vermutung der korrekten Werte, da ich bisher beim Integrieren der Dichtefunktion kein C bestimmt hatte
F(x) = -0,75 * ((1/3)x^3 - x) + c -> wir müssen nun c bestimmen: 
es muss gelten F(1) = 1, also folgt: F(1) = 0.5 + c = 1 => c = 0.5

Vielen dank schonmal für euer Feedback!