Vektorräume mit gleicher Dimension isomorph?

Erste Frage Aufrufe: 68     Aktiv: 16.02.2021 um 13:06

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Hey, kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Ich weiß, dass die zwei K-Vektorräume isomorph sind, wenn A=> B eine bijektive Abbildung ist. Das heißt für jedes Element b aus B gibt es genau 1 Element aus a dass dann auf b abbildet. Wie ich dass jetzt aber mit der Dimension verknüpfe ist mir aber nicht klar, wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)
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Die Aussage gilt nur für Vektorräume mit endlicher Dimension. Als Gegenbeispiel betrachte z.B. \(\mathbb Q[X]\) und \(\mathbb R\) als \(\mathbb Q\)-Vektorräume. Zwischen den Mengen gibt es nicht mal eine Bijektion, da eine abzählbar und die andere überabzählbar ist, also sicher auch keinen Isomorphismus. Der endliche Fall ist einfach zu beweisen: Wähle Basen von \(A\) und \(B\). Definiere einen Homomorphismus, indem du den \(i\)-te Basisvektor deiner Basis von \(A\) auf den \(i\)-ten Basisvektor der Basis von \(B\) schickst, für alle \(i\). Rechne nach, dass dieser Homomorphismus ein Isomorphismus ist.
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Erst einemal vielen Dank, für die Antwort! Warum die Aussage nur für endlich dimensionale Vektorräume gilt ist mir jetzt klar geworden. Womit ich Probleme habe, ist das ganze formal aufzuschreiben. Die Basis wäre dann formal aufgeschrieben die kanonische Basis B={(1,0,...,0), (0,1,...,0), ... ,(0,0, ...,1)}, richtig? Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, soll ich den i-ten Vektor aus der Basis von A auf den i-ten Vektor der Basis von B abbilden, richtig? Meine Frage dabei wäre, woher weiß ich, dass das wenn ich den i-ten Basisvektor von A abbilde genau der i-te Basisvektor aus B herauskommt? Und um zu zeigen, dass das dann ein Homomorphismus ist, muss ich ja Additivität und Skalarmultiplikation nachweisen oder nicht? Wie würde ich das dann machen wenn ich die genaue Art der Verknüpfung gar nicht kenne?   ─   emely3h 11.02.2021 um 12:18

Die Aufgabe verlangt gar nicht, dass du beweist, dass die Aussage für endlich-dimensionale Vektorräume gilt, es reicht, wenn du ein Gegenbeispiel angibst. Wenn du die Aussage trotzdem beweisen willst: Erstmal gibt es im allgemeinen keine kanonische Basis, die Vektorräume müssen auch nicht Tupel enthalten. Schreibe \(X=\{a_1,\ldots,a_n\},\ Y=\{b_1,\ldots,b_n\}\) seien Basen von \(A\) bzw. \(B\). Bezüglich der Abbildung: Eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder einer Basis definiert, diesen Satz lernt man üblicherweise in einer Vorlesung. Also kannst du einfach \(f(a_i)=b_i\) setzen für alle \(i\) und weißt, dass du dadurch eine eindeutige lineare Abbildung definiert hast. Falls dir das nicht bekannt vorkommt: Jedes \(x\in A\) ist darstellbar als \(a=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i\) mit passenden \(\lambda_i\in K\), da \(X\) eine Basis ist. Setze dann \(f(a)=\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i\). Dann musst du noch nachrechnen, dass das linear ist, aber das ist einfach. Schließlich musst du noch nachweisen, dass \(f\) bijektiv ist. Schaffst du das?   ─   stal 11.02.2021 um 12:25

Ah, vielen Dank jetzt ist mir das Ganze schon einieges klarer und ich konnte es besser mit der Vorlesung verknüpfen. Vielen Dank für die ausführliche Antwort :)
  ─   emely3h 16.02.2021 um 13:06

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