Newtonverfahren

Aufrufe: 816     Aktiv: 20.12.2020 um 07:07

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Kann mir einer bei dieser Formel weiterhelfen. Es handelt sich um den Abstiegstest und soll einem Anzeigen ob F(xk) Kleiner wird. Wir uns also der Nullstelle nähern. Jedoch kann ich dass nicht in dieser Ungleichung erkennen. 

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Student, Punkte: 254

 
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Ich zumindest kann aus einer aus dem Zusammenhang gerissenen Ungleichung nichts erkennen. Vielleicht könnte ich das, wenn Du die entsprechende Seite aus dem Skript hochladen würdest, wo die Rahmenbedingungen aufgeführt sind. Ein Link zum Skript würde auch reichen.

Es wäre auch gut, wenn Du das bei Deinen zukünftigen Fragen berücksichtigen würdest.

Besorg Dir mal das Buch von Deuflhard/Hohmann, ich hab's nicht zur Hand, aber ich gehe davon aus, dass das alles dadrin steht. Auch Deine vorherige Frage mit der Lipschitzbedingung ist da erklärt.

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Du hättest in jedem Fall angeben müssen, dass \(\overline{\theta}<1\) gefordert wird. Es handelt sich hier um den sogenannten natürlichen Monotonietest (vgl. Deuflhard), welcher als Konvergenzkriterium gilt. Wir wollen ja ein Kriterium haben, ob das Verfahren überhaupt konvergiert. Für die Lösung des Problems \(F(x)=0\) stellt dann \(F(x_k)\) das Residuum dar. Die Minimierung des Residuums ist äquivalent dazu, eine Lösung für \(F(x)=0\) zu finden. Wenn \(||F(x_k)||\) also in jedem Schritt kleiner wird, wissen wir, dass das Verfahren konvergiert. Man könnte folglich 

\(||F(x_{k+1})||<\overline{\theta}||F(x_k)||\) für \(\overline{\theta}<1\) 

fordern. Das bedeutet ja nichts anderes, als dass die Folge monoton kleiner wird (was wir hier ja wollen). Das Problem bei dieser Darstellung ist jedoch, dass diese nicht affin-invariant ist, das Newton-Verfahren aber schon (die Probleme \(F(x)=0\) und \(AF(x)=0\) sind äquivalent für eine invertierbare Matrix \(A\)). Deswegen multipliziert man das Residuum mit der invertierbaren Matrix \(F'(x_k)^{-1}\). Dadurch wird die Monotoniebedingung affin-invariant. Insbesondere steht dann rechts nichts anderes als die Newton-Korrektur \(\Delta x_k\).

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