Hallo ihr Lieben, ich habe eine Frage zu meinem Lösungsansatz. Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass $exp: \mathbb{R} \rightarrow ]0, \infty[$ bijektiv ist.

Mein Ansatz dazu:
--Surjektiv: Folgt direkt aus der Existenz der eindeutigen Umkehrabbildung ln(x).

--Injektiv: Ich haben schon in einer anderen Aufgabe bewiesen, dass die Funktion streng monoton wachsend und stetig ist. Für mich ist die Injektivität jetzt eigentlich trivial, aber den Beweis dazu, dass aus den genannten Eigenschaften direkt die Injektivität folgt, hatten wir leider nicht in der VL, deshalb hier mein Ansatz:

Seien $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ mit $x_2 = x_1+y$ und $y \in \mathbb{R}>0$, dann gilt: $x_1 \neq x_2$
Aus der strengen Monotonie folgt: $exp(x_1) < exp(x_2)$, also gilt:
$x_1 \neq x_2 \Rightarrow exp(x_1) \neq exp(x_2) $ und das beweist die Injektivität.

Ist das so ausreichend bewiesen?

--Bijektiv: Folgt aus Injektiv+Surjektiv