Die Exponentialfunktion ist bijektiv.

Aufrufe: 64     Aktiv: 01.01.2022 um 15:48

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Hallo ihr Lieben, ich habe eine Frage zu meinem Lösungsansatz. Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass $exp: \mathbb{R} \rightarrow ]0, \infty[$ bijektiv ist.

Mein Ansatz dazu:
--Surjektiv: Folgt direkt aus der Existenz der eindeutigen Umkehrabbildung ln(x).

--Injektiv: Ich haben schon in einer anderen Aufgabe bewiesen, dass die Funktion streng monoton wachsend und stetig ist. Für mich ist die Injektivität jetzt eigentlich trivial, aber den Beweis dazu, dass aus den genannten Eigenschaften direkt die Injektivität folgt, hatten wir leider nicht in der VL, deshalb hier mein Ansatz:

Seien $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ mit $x_2 = x_1+y$ und $y \in \mathbb{R}>0$, dann gilt: $x_1 \neq x_2$
Aus der strengen Monotonie folgt: $exp(x_1) < exp(x_2)$, also gilt:
$x_1 \neq x_2 \Rightarrow exp(x_1) \neq exp(x_2) $ und das beweist die Injektivität.

Ist das so ausreichend bewiesen?

--Bijektiv: Folgt aus Injektiv+Surjektiv
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Warum argumentierst du bei der Surjektivität mit der Umkehrabbildung und bei der Injektivität nicht? Vermutlich darfst du das gar nicht verwenden, mit der Monotonie liegst du aber goldrichtig.   ─   mathejean 01.01.2022 um 15:46
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Aus der strengen Monotonie folgt doch, dass $f(x)<f(y)$ für alle $x<y$ auf ganz $\mathbb{R}$. Gäbe es nun $x\neq y$ mit $f(x)=f(y)$, wird diese Bedingung doch sofort verletzt... Der Beweis ist also wirklich nicht schwierig. Ich sehe da also bei deiner Ausführung kein Problem. Ich würde nur einfach direkt annehmen, dass es $x\neq y$ mit $f(x)=f(y)$ gäbe und dies zu dem entsprechenden Widerspruch führen.
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