Es gibt den Basisergänzungssatz:
Ist \(\mathcal A\) eine Basis und \(\mathcal B\) eine Teilmenge linear unabhängiger Vektoren, dann gibt es \(l:=|\mathcal A|-|\mathcal B|\) viele Vektoren \(a^{(1)},\ldots,a^{(l)}\in\mathcal A\), sodass \(\mathcal B\cup\{a^{(1)},\ldots,a^{(l)}\}\) eine Basis bilden.

Du kannst also jede linear unabhängige Familie durch Hinzufügen geeigneter Vektoren aus einer Basis zu einer Basis ergänzen. In deinem Beispiel solltest du also als allererstes überprüfen, ob \(b_1,b_2\) linear unabhängig sind, sonst hast du natürlich keine Chance, daraus eine Basis zu machen. Wenn du das erledigt hast, weißt du nach dem Basisergänzungssatz, dass mindestens eine der Mengen \(\{b_1,b_2,a_1\},\{b_1,b_2,a_2\}\) oder \(\{b_1,b_2,a_3\}\) eine Basis ist. Überprüfe diese Mengen einfach nacheinander auf lineare Unabhängigkeit. Sobald du eine gefunden hast, die linear Unabhängig ist, bist du fertig.