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Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, wie man folgende Aufgaben lösen kann?

Seien alle Vektoren im Folgenden Spaltenvektoren der Dimension 4.
Sei A ein Vektorraum der von den Vektoren a1, a2, a3 aufgespannt wird.
Zusätzlich sei die Menge B mit den Vektoren b1, b2 eine Teilmenge von A.
Ergänze die Vektormenge B so, dass B eine Basis von A bildet. 

Ich schaue da derzeit sehr verwirrt immer auf bestimmte Eigenschaften die A hat, die man dann mit den Vektoren aus B und einen zusätzlichen Vektor b3 zur Basis ergänzen kann. Bloß sehe ich den Zusammenhang zwischen den Vektoren nicht und kenne auch keinen richtiges Vorgehen welches man nutzen könnte...
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Es gibt den Basisergänzungssatz:
Ist \(\mathcal A\) eine Basis und \(\mathcal B\) eine Teilmenge linear unabhängiger Vektoren, dann gibt es \(l:=|\mathcal A|-|\mathcal B|\) viele Vektoren \(a^{(1)},\ldots,a^{(l)}\in\mathcal A\), sodass \(\mathcal B\cup\{a^{(1)},\ldots,a^{(l)}\}\) eine Basis bilden.

Du kannst also jede linear unabhängige Familie durch Hinzufügen geeigneter Vektoren aus einer Basis zu einer Basis ergänzen. In deinem Beispiel solltest du also als allererstes überprüfen, ob \(b_1,b_2\) linear unabhängig sind, sonst hast du natürlich keine Chance, daraus eine Basis zu machen. Wenn du das erledigt hast, weißt du nach dem Basisergänzungssatz, dass mindestens eine der Mengen \(\{b_1,b_2,a_1\},\{b_1,b_2,a_2\}\) oder \(\{b_1,b_2,a_3\}\) eine Basis ist. Überprüfe diese Mengen einfach nacheinander auf lineare Unabhängigkeit. Sobald du eine gefunden hast, die linear Unabhängig ist, bist du fertig.
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