Hier ein kleiner Trick: Sei $q=a+b\sqrt{2}$. Dann betrachen wir $\bar{q}=a-b \sqrt{2}$. Dann gilt:
$$q \bar{q}=a^2-2b^2$$
und weiterhin gilt $a^2-2b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0 \}$. Das dieser Ausdruck nicht-null ist, folgt daraus, da man $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreiben kann. Folglich ist, in dem wir beide Seiten durch $a^2-2b^2$ teilen,
$$q^{-1}= \frac{\bar{q}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-b^2}\sqrt{2}$$
der gesuchte inverse Ausdruck. Diese Rechnung kennst du vielleicht konzeptionell von den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$.