Beweise das eine gegebene Menge, eine Gruppe ist.

Aufrufe: 319     Aktiv: 20.08.2023 um 11:53

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Guten Abend.
Ich habe eine frage zur Aufgabenteil c)
Sei w nicht gegeben dann müssten wir den neutralen Element und die Inverse selbst berechnen
Ich habe den neutralen Element raus aber hänge grad dabei die Inverse selbst zu berechnen.
Hier ist mein Rechnungsweg...

Ab da komme ich nicht mehr weiter.
Die "W" die im Aufgaben stellung gegeben war ist tatsächlich die Inverse. Ich habe w * (a+b*sqrt(2)) gemacht und es kam 1 raus. Aber ich bekomme es nicht hin die "W" selbst zu bestimmen

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Student, Punkte: 107

 
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Erstmal finde ich es gut, dass Du es auf diesem Weg probierst.
Unten hast Du nun ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ($c,d$). Das wirst Du sicher lösen können.
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Vielen dank. Habs raus obwohl es lange gedauert hat😰.   ─   omran_m765 19.08.2023 um 23:50

Ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen sollte nur ein paar Minuten dauern, max. 5 Min. Wenn Du länger brauchst, übe das auf Zeit, es kommt sehr oft in ganz unterschiedlichen Zusammenhängen vor. In Klausuren sollte Dich sowas nicht aus dem Flow bringen.   ─   mikn 19.08.2023 um 23:59

Ja das größte Problem war bei mir das ich von die ganzen Variablen a, b, c, d verwirrt war und hatte den überblick verloren bis sie mir gesagt haben ich soll nur nach c und d lösen, was sinn macht weil ich angenommen habe dass (c+d*sqrt(2)) die Inverse sein soll.
Wir bekommen 100% eine LGS Aufgabe in der Klausur wo wir mit rg(A) und rg(A|b) entscheiden sollen ob der LGS lösbar ist oder nicht.
  ─   omran_m765 20.08.2023 um 00:09

Die Verwirrung ist erstmal verständlich. Bei Mathe-Aufgaben (auch bei Beweisen) hilft grundsätzlich, vorher aufzuschlüsseln "was ist gegeben?" / "was ist gesucht?".
Hier: Geg. $a,b$. Gesucht: $c,d$.
Dann lichtet sich der Nebel.
  ─   mikn 20.08.2023 um 11:53

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Hier ein kleiner Trick: Sei $q=a+b\sqrt{2}$. Dann betrachen wir $\bar{q}=a-b \sqrt{2}$. Dann gilt:

$$q \bar{q}=a^2-2b^2$$

und weiterhin gilt $a^2-2b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0 \}$. Das dieser Ausdruck nicht-null ist, folgt daraus, da man $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreiben kann. Folglich ist, in dem wir beide Seiten durch $a^2-2b^2$ teilen,

$$q^{-1}= \frac{\bar{q}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-b^2}\sqrt{2}$$

der gesuchte inverse Ausdruck. Diese Rechnung kennst du vielleicht konzeptionell von den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$.

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Oha Auf diesen Trick käme ich nie im Leben😅. Wirklich beeindrucken wie das ganze auf mehreren Wegen Funktioniert.
Wir haben es leider mit dem Vorlesungen nicht bis komplexe Zahlen geschafft, deswegen kommt es auch in der Klausur nicht dran.
  ─   omran_m765 19.08.2023 um 23:55

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