Tangente im Punkt an den Kreis aufstellen

Aufrufe: 1021     Aktiv: 29.09.2019 um 19:23

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Ich muss die Gleichung der Tangente im Punkt \( \left( 4/{ p }_{ 2 } \right) \); \({ p }_{ 2 }\lt0\) an den Kreis k: x(mit Pfeil oben geschrieben)^2=25 aufstellen

Den Mittelpunkt habe ich nicht... und irgendwie auch keinen Plan, wie ich diesen berechnen soll (falls ich ihn überhaupt brauche)

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Da gibt es mehrere Möglichkeiten, auch davon abhängig, in welcher Form die Tangentengleichung vorliegen soll.

Wandelt man die implizite Kugelgleichung in Koordinatenform um, und löst anschließend nach y auf, so erhält man (da \(p_2 < 0\)) gilt: \(f(x) = -\sqrt{25-x^2}\). Der gesuchte Punkt hat demnach die Koordinaten \(p_2(4|f(4) = p_2(4|-3)\).

Die Steigung an dieser Stelle beträgt \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)\bigg\vert_{x=4} = \dfrac{4}{3}\).

Somit lautet die vorl. Tangentengleichung \(t(x) = \dfrac{4x}{3}+b\).
Den Punkt eingesetzt liefert schließlich \(t(x) = \dfrac{4x}{3}-\dfrac{25}{3}\).

Alternativ evtl. auch implizit abgeleitet: \(f(x,y):=x^2+y^2-25 \\
\Rightarrow m=-\dfrac{F_{x=4}}{F_{y=-3}} = -\dfrac{2\cdot 4}{2\cdot (-3)} = \dfrac{4}{3}\)


Vektoriell ließe sich ein Vektor bestimmen, dessen SP mit dem Verbindungsvektor zwischen MP der Kugel und diesem Punkt null ergibt. Dieser Vektor fungiert als RV der Tangente. Als OV wird schlichtweg der OV von \(p_2\) genutzt.

\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow 4x=3y \Rightarrow x=1 \,\wedge\, y=\dfrac{4}{3}\)

Somit lautet die Geradengleichung \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}1\\\frac{4}{3}\end{pmatrix}\)

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Vielen Dank für Ihre Antwort! Sie war auf jeden Fall hilfreich :)   ─   xjsmx 29.09.2019 um 19:23

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