Skalarprodukt: Finde Vektoren auf R²

Aufrufe: 455     Aktiv: 17.03.2022 um 22:04

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Hallo zusammen, ich soll das folgende Beispiel zu Vektorräumen und Skalarprodukten lösen. Da wir das Thema in der VO nur kurz angeschnitten haben, weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll. 

Finden Sie Vektoren ⃗a,⃗b ∈ R² , sodass
⃗a · ⃗a = ⟨1, 1⟩,                     ⃗b · ⃗b = ⟨x, x⟩,                  ⃗a · ⃗b = ⟨1, x⟩,
wobei · das gewöhnliche Skalarprodukt auf dem R² und ⟨, ⟩ das Standardskalarprodukt auf C[0, 1] ist. Hinweis: cos 60◦ = 1/2 . 

Wäre sehr froh, wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
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gefragt

Punkte: 20

 

Da wir uns auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum C[0,1] befinden, können wir das Skalarprodukt durch integrieren herausfinden. Ich bekomme dann für a*a=1, a*b=1/2 und für b*b=1/3
Das ist soweit richtig oder?
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 11:02

dann kann ich durch wurzel ziehen die Länge der Beiden Vektoren a und b herausfinden. Und dazu noch den dazugehörigen Winkel. Aber jetzt steck ich fest. Was fang ich mit dem Hinweis an?
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 13:38
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1 Antwort
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Es ist immer gut, wenn Du einfach mal anfängst und dann Deine Überlegungen präsentierst. Dann können wir gezielt helfen.
Die SPe konntest Du also ausrechnen, das war nicht das Problem. Wo liegt es dann?
Überlege, was die Angaben nun geometrisch bedeuten. Dann ist auch klar, wie es weitergeht.
Könntest Du die Aufgabe zeichnerisch lösen?
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Tut mir leid, für den falschen Ort der Kommentare davor. Kenn mich noch nicht so auf dieser Website aus.
Ok, zeichnen kann ichs noch nicht wirklich. Ich hab zwar die Länge und den Winkel arccos(sqrt(3)/2)=30 Grad. Aber die räumliche Darstellung ist noch nicht möglich, da ich die Vektoren von a und b noch nicht habe.
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 14:55

Angesichts daran, dass wir bis jetzt nur Betrag und Winkel der Vektoren haben, müsste es doch unendlich viele geben. Kann ja im Raum liegen wie und wo er will. Falls ich mich jetzt nicht irre. Weil ein Ursprung oder sonstiges ist doch auch noch nicht gegeben.
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 15:25

Naja. Wir haben bei der Formel für den Winkel 2 unbekannte. Aber wir wissen ja das Ergebnis der Vektoren a*b soll 1/2 sein. Dann spielt darauf der Hinweis ab, kann das sein?   ─   anonym984ab 17.03.2022 um 16:34

3 gleichungen und 2 unbekannte?
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 16:38

Pro Vektor 2 Unbekannte also 4 unbekannte. Sind mit den Gleichungen die 2 Gleichungen für die Vektoren gemeint?
Sonst bin ich leider etwas überfragt und weiß leider nicht genau was gemeint ist :/
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 16:56

Hab ich gemacht. Aber
1. Wie soll ich das ohne Taschenrechner bewerkstelligen? Gibt es keine einfachere Lösung?
2. Was ist mit dem Hinweis gemeint? Der ist selten ohne Grund bei unseren Aufgaben, und soll meistens benutzt werden.
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 17:42

ok, habs jetzt. Langer Weg, aber danke für Ihre Geduld!
  ─   anonym984ab 17.03.2022 um 21:46

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