Skalarprodukt: Finde Vektoren auf R²

Aufrufe: 201     Aktiv: 17.03.2022 um 22:04

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Hallo zusammen, ich soll das folgende Beispiel zu Vektorräumen und Skalarprodukten lösen. Da wir das Thema in der VO nur kurz angeschnitten haben, weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll. 

Finden Sie Vektoren ⃗a,⃗b ∈ R² , sodass
⃗a · ⃗a = ⟨1, 1⟩,                     ⃗b · ⃗b = ⟨x, x⟩,                  ⃗a · ⃗b = ⟨1, x⟩,
wobei · das gewöhnliche Skalarprodukt auf dem R² und ⟨, ⟩ das Standardskalarprodukt auf C[0, 1] ist. Hinweis: cos 60◦ = 1/2 . 

Wäre sehr froh, wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
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Punkte: 14

 

Erstmal die Skalarprodukte ausrechnen. Was erhälst Du?   ─   mikn 16.03.2022 um 13:10

Da wir uns auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum C[0,1] befinden, können wir das Skalarprodukt durch integrieren herausfinden. Ich bekomme dann für a*a=1, a*b=1/2 und für b*b=1/3
Das ist soweit richtig oder?
  ─   userca121d 17.03.2022 um 11:02

Soweit ja.   ─   mikn 17.03.2022 um 12:16

dann kann ich durch wurzel ziehen die Länge der Beiden Vektoren a und b herausfinden. Und dazu noch den dazugehörigen Winkel. Aber jetzt steck ich fest. Was fang ich mit dem Hinweis an?
  ─   userca121d 17.03.2022 um 13:38

Schreib bitte unten bei meiner Antwort weiter. Da steht auch einTipp.   ─   mikn 17.03.2022 um 13:45
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1 Antwort
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Es ist immer gut, wenn Du einfach mal anfängst und dann Deine Überlegungen präsentierst. Dann können wir gezielt helfen.
Die SPe konntest Du also ausrechnen, das war nicht das Problem. Wo liegt es dann?
Überlege, was die Angaben nun geometrisch bedeuten. Dann ist auch klar, wie es weitergeht.
Könntest Du die Aufgabe zeichnerisch lösen?
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Tut mir leid, für den falschen Ort der Kommentare davor. Kenn mich noch nicht so auf dieser Website aus.
Ok, zeichnen kann ichs noch nicht wirklich. Ich hab zwar die Länge und den Winkel arccos(sqrt(3)/2)=30 Grad. Aber die räumliche Darstellung ist noch nicht möglich, da ich die Vektoren von a und b noch nicht habe.
  ─   userca121d 17.03.2022 um 14:55

Nicht schlimm mit dem "falschen" Ort.
Wenn Du es geometrisch verstanden hast (das scheint mir der Fall zu sein), dann ist Dir doch auch klar, wieviele Vektoren es mit den geforderten Eigenschaften gibt, oder?
  ─   mikn 17.03.2022 um 15:09

Angesichts daran, dass wir bis jetzt nur Betrag und Winkel der Vektoren haben, müsste es doch unendlich viele geben. Kann ja im Raum liegen wie und wo er will. Falls ich mich jetzt nicht irre. Weil ein Ursprung oder sonstiges ist doch auch noch nicht gegeben.
  ─   userca121d 17.03.2022 um 15:25

Genau. Das sagt die geometrische Anschauung. Alternatives Argument: Wieviel unbekannte hat man bei wievielen Gleichungen? (Ergänzung: Diese Überlegung aber nur unter Vorbehalt, weil es nichtlineare Gleichungen sind, da kann viel passieren.)
Also, da ja in der Aufgabe nicht steht "bestimme ALLE Vektoren", würde ich einfach welche aussuchen.
  ─   mikn 17.03.2022 um 15:31

Naja. Wir haben bei der Formel für den Winkel 2 unbekannte. Aber wir wissen ja das Ergebnis der Vektoren a*b soll 1/2 sein. Dann spielt darauf der Hinweis ab, kann das sein?   ─   userca121d 17.03.2022 um 16:34

Abzählen: wieviel Unbekannte, wieviele Gleichungen?   ─   mikn 17.03.2022 um 16:36

3 gleichungen und 2 unbekannte?
  ─   userca121d 17.03.2022 um 16:38

Nein. Bei Unbekannten zählt man Zahlen, nicht Anzahl Buchstaben.   ─   mikn 17.03.2022 um 16:40

Pro Vektor 2 Unbekannte also 4 unbekannte. Sind mit den Gleichungen die 2 Gleichungen für die Vektoren gemeint?
Sonst bin ich leider etwas überfragt und weiß leider nicht genau was gemeint ist :/
  ─   userca121d 17.03.2022 um 16:56

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Du musst doch nur die =-Zeichen in der Aufgabe zählen. Du hast doch drei Gleichungen für die Vektoren, aber links und rechts vom =-Zeichen stehen jeweils Zahlen.
Schreib Dir die Gleichungen hin, mit den 4 Unbekannten, und such Dir aus den unendlich vielen Lösungen zwei aus. Fertig.
  ─   mikn 17.03.2022 um 17:04

Hab ich gemacht. Aber
1. Wie soll ich das ohne Taschenrechner bewerkstelligen? Gibt es keine einfachere Lösung?
2. Was ist mit dem Hinweis gemeint? Der ist selten ohne Grund bei unseren Aufgaben, und soll meistens benutzt werden.
  ─   userca121d 17.03.2022 um 17:42

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Das ist die einfachste Lösung, und die geht problemlos ohne TR (stehen u.U. halt Wurzeln drin). Fang an, welche Lösung hast Du?
Du kannst lange über den Hinweis nachdenken und ob irgendwo ein Fehler in der Aufgabe ist. Alternativ kannst Du sie einfach richtig lösen. Deine Entscheidung.
  ─   mikn 17.03.2022 um 21:19

ok, habs jetzt. Langer Weg, aber danke für Ihre Geduld!
  ─   userca121d 17.03.2022 um 21:46

Gerne, keine Ursache. War keine Herausforderung an meine Geduld.   ─   mikn 17.03.2022 um 22:04

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