Pascalsche Dreieck

Aufrufe: 64     Aktiv: 19.04.2021 um 18:34

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Hallo zusammen

Folgendes ist mir nicht ganz klar.



Das ist doch die Allg. Formel


Für den ersten Term mit k-1 und n-1 wäre es doch:

(n-1)! / (n-1-(k-1))!(k-1)! = (n-1)! / (n-1-k+1)!(k-1)! = (n-1)! / (n-k)!(k-1)!

Für den zweiten Term mit n-1 und k
(n-1)!/(n-k)!k!

Den ersten und zweiten Term zusammengefasst:
(n-1)! / (n-k)!(k-1)! + (n-1)!/(n-k)!k!

Stimmt das soweit?

Nun ist mein Problem, wie fasse ich die zu einem gemeinsamen Nenner zusammen. Wie geht man vor?


Vielen Dank!

Schöne Grüsse
Sayuri

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Hallo,

es scheint mir hier, dass etwas verdreht ist. Bei dir steht einmal

$$ C_x^n = \binom{n}{x} $$

aber dort steht auch, dass 

$$ C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k $$

Diese Aussage macht aber nur Sinn, wenn die Zahl im Index die Zeile des Pascalschen Dreiecks beschreibt und die Zahl im Exponenten die Stelle in der Zeile, also

$$ C_n^k = \binom{n}{k} $$

Beim ersten macht das keinen Unterschied, beim zweiten ergibt das aber dann

$$ C_{n-1}^k = \frac {(n-1)!} {(n-1-k)!k!} $$

daraus ergibt sich dann insgesamt

$$ C_n^k = \frac {(n-1)!} {(n-k)!(k-1)!} + \frac {(n-1)!} {(n-k-1)!k!} $$

Du kannst aus \( (k-1)! \) im Nenner ein \( k! \) machen, indem du im Zähler mit \( k \) erweiterst und genauso kannst du im zweiten Nenner \( (n-k-1)! \) zu \( (n-k)!\) umformen, indem du den Zähler mit \( n-k \) erweiterst. 
Dann sollte es passen und du erhälst auch das richtige Ergebnis.

Grüße Christian

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