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Man führt das, was man konstruieren will, auf etwas Bekanntes zurück, nämlich auf die Rechenregeln in \(\mathbb{Q}\) und das kartesische Produkt \(E=\mathbb{Q}^2=\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\). Mit diesen Voraussetzungen darf man die neuen Rechenoperationen \(+\) und \(\cdot\) in \(E\) so, wie im Text gemacht, definieren. Dann muss man prüfen, dass \(E\) mit diesen Operationen ein Körper ist (dabei muss man angeben, was die neutralen Elemente bzgl. \(+\) und \(\cdot\) sind; welche sind es?). Diese Überprüfung fehlt hier, ist aber einfach. Die Menge \(\mathbb{Q}\) ist in \(E\) eingebettet (als Bild einer injektiven Abbildung in die erste Koordinate von \(E\)). Man identifiziert daher \(\mathbb{Q}\) mit dem Bild dieser Einbettung, also fasst \(\mathbb{Q}\) als Teilmenge von \(E\) auf. Man müsste prüfen, dass diese Einbettung ein Körperhomomorphismus ist (einfach!). Dann kann man sagen, dass \(\mathbb{Q}\) ein Unterkörper von \(E\) ist, oder mit anderen Worten, dass \(E\) eine Körpererweiterung von \(\mathbb{Q}\) ist.
Hilft das?
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Auf der linken Seite der Definition der Rechenregeln in \(E\) steht jeweils das, was man definieren möchte. Man darf diese Definitionen einfach darum machen, weil die rechte Seite Sinn ergibt. Dort stehen ja nur schon bekannte Sachen, nämlich Tupel mit Koordinaten, die über Rechenoperationen in \(\mathbb{Q}\) festgelegt werden. Also nochmal: In einer Definition steht links etwas neues und rechts etwas altes. Du musst Dir klar machen, dass die Rechenoperationen auf der linken Seite nichts mit irgendetwas zu tun haben, was Du schon kennst. Das ist ja das Wesen einer Definition.
Jetzt fragst Du Dich vielleicht, wieso man die Definition so macht. Man könnte ja auch etwas anderes hinschreiben. Der Grund ist, dass man genau mit dieser Definition aus \(E\) einen Körper macht, und zwar so, dass \(\mathbb{Q}\) in die erste Komponente mit einem injektiven Homomorphismus eingebettet wird. Mit anderen Definition wäre das vielleicht nicht so.
Und dann fragst Du Dich vielleicht, wie man genau auf diese Definition kommt? Das ist Herumprobieren und mathematische Intuition. Es zeigt, dass Mathematik kreativ ist, man muss Dinge erfinden. Ein Hinweis wird hier geliefert durch die Beobachtung, wie man mit der Wurzel rechnen können möchte. Dieser Wunsch manifestiert sich in der Definition.
Ich hoffe, das hilft. ─ slanack 05.11.2020 um 21:15
Vielen Dank für Ihre Mühe,
ich habe es jetzt größten Teils verstanden und ich bin mir sicher, der Rest kommt mit Zeit und Übung.
Viele Grüße!
─ physikstudent(1.s) 05.11.2020 um 23:09
erst einmal vielen Dank für die Antwort!
Ich schreibe einmal, was ich glaube verstanden zu haben und was ich mir gedacht habe und vielleicht könnten Sie darauf antworten, das wäre super!
Die Idee ist, dass man die Rechenoperationen, die man benötigt um mit der Wurzel aus 2 zu rechnen, auf bekannte Rechenoperationen zurückführt und dann beweist, dass dies erlaubt ist. So kann man dann mit der Wurzel aus 2 rechnen, obwohl sie nicht zu den rationalen Zahlen gehört.
Wenn ich E mit E kreuze, um damit auf E abzubilden, wie es hier gemacht wird, kreuze ich doch eig. QXQXQXQ, da Q²=E ist.
So entstehen die Tupel.
Nun habe ich nicht verstanden, warum man die Tupel auf der Linken Seite so definieren darf, wie es nach dem := rechts steht. Also habe ich mir die Tupel als Spaltenvektoren mit zwei Zeilen gedacht (darf ich das machen?) und überlegt, wie ich diese verrechnen würde, damit hat die rechte Seite dann Sinn ergeben.
Doch für die Multiplikation hat dies nicht funktioniert... wahrscheinlich bin ich auf dem Holzweg.
Ich verstehe auch nicht, warum ich überhaupt argumentieren darf, dass man mit Wurzel 2 so rechnen darf. Zeigt man damit nicht einfach, wie man zwei Tupel aus den rationalen Zahlen miteinander durch Addition und Multiplikation verknüpft?
Zu den neutralen Elementen glaube ich Folgendes:
für die Addition ist die 0 das ntrl Element, da a+n=a für 0 erfüllt ist.
Für due Multiplikation ist es nach a*n=a die 1.
In der Hoffnung auf Rückmeldung,
Viele Grüße!
─ physikstudent(1.s) 05.11.2020 um 19:42