Normalvektor auf zwei Geraden ausrechnen

Aufrufe: 40     Aktiv: 31.03.2021 um 16:55

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Gegeben sind beispielsweise zwei Punkte (2 | 3 | 1) und (0 | 1 | 1). Nun soll ein Normalvektor gefunden werden, also, ein Vektor, der orthogonal auf den anderen beiden Vektoren steht. Hierzu meine Frage, ist das überhaupt möglich, wenn 2 Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen? (oder anders ausgedrückt: es gibt zwei Vektoren (in R^(2)) einfacher vorzustellen (0 | 2) und (2 | 1), wie würde man da den Normalvektor berechnen, theoretisch könnte ja ein Normalvektor immer nur auf einen der Vektoren normal stehen oder?
Und da ja der Normalvektor auf beiden Vektoren normal stehen muss, muss das Vektorprodukt auch bei beiden Vektoren mit dem Normalvektor jeweils 0 sein => (c * P + d * E ) * N
Für das oben genannte Beispiel gibt es ja eine nette Lösungsformel, nämlich {t * (p2 q3 - p3 q2 | p3 p1 - p1 q3 | p1 q2 - p2 q1)}, um für beide Vektoren die Orthogonalität zu garantieren, wie soll man sich diese merken, bzw. wie würde die für 2 - Tupel Vektoren aussehen.
Vielen Dank im Voraus :)
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Das Skalarprodukt ist jeweils 0, nicht das Vektorprodukt! Mit dem Vektorprodukt findet man gerade so einen Vektor im dreidimensionalen Raum.   ─   cauchy 31.03.2021 um 13:26

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1 Antwort
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Hallo,

du hast schon mal recht, dass wenn im zweidimensionalen zwei Vektoren nicht in die selbe Richtung zeigen, wir auch keinen Vektor finden können, der gleichzeitig zu beiden senkrecht verläuft. Im Prinzip ist das sogar die Definition von 2 dimensional (salopp gesprochen). Wir haben zwei linear unabhängige Richtungen.

Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ergibt das Skalarprodukt Null. Du kannst also folgenden Ansatz immer wählen

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} =0 $$

Nehmen wir mal einen deiner Vektoren, erhalten wir

$$ \begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} = 0n_1 + 2 n_2 =0 $$

Diese Gleichung kannst du lösen, indem du eine Unbekannte frei wählst und die andere in Abhängigkeit löst

$$ n_1 = t \Rightarrow 0t + 2n_2 =0 \Rightarrow n_2 =0 $$

Der Normalenvektor wäre also

$$ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Du könntest jetzt auch versuchen noch deinen zweiten Vektor hinzuzunehmen, und daraus ein "gewöhnliches LGS" machen und wirst feststellen, dass dieses nicht lösbar ist, außer durch den Nullvektor. 

In 3D kannst du ähnlich vorgehen. Nun haben wir aber 2 Vektoren, zu dem wir einen senkrechten suchen

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \quad \land \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 $$

Daraus erhälst du wieder ein unterbestimmtes LGS, dass du durch Wahl einer Unbekannten lösen kannst. 

Du könntest es auch mit einem Vektor durchführen, müsstest dann aber 2 Parameter frei wählen. 

Die Formel die du dort angegeben hast entsteht, wenn man ganz allgemein das LGS löst, dass durch

$$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \quad \land \quad \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 $$

entsteht. Man nennt diese Formel auch Kreuzprodukt. Dafür gibt es eine Schema, mit dem man sich das vielleicht etwas besser merken kann. 
Schau dafür mal hier rein, unterhalb des Lachsfarbenen (?) Blocks. 

In 2D ist die Formel viel einfacher. Du kannst ja mal versuchen, ganz allgemein

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} =0 $$

zu berechnen.

Grüße Christian
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Danke auch für diese super Antwort :) Gibt es irgendeinen logischen Grund dafür, warum das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) die Lösung für den Normalvektor darstellt. Also z.B. (2| 3| 1) und (0 | 1 | 1) wäre das Kreuzprodukt (2 | -2 | 2 ), also die Gerade (um Begriffe, die du mir gelernt hast, auch einzusetzen, wäre : g: {(2 | -2 | 2) *c }
Oder soll ich mir einfach nur merken, 3 Dimensionaler Raum, eine Ebene wird aufgespannt => Kreuzprodukt stellt den Normalvektor dar, sofern dieser 0 wäre, sind die beiden Vektoren voneinander abhängig?
  ─   sven03 31.03.2021 um 16:52

Ich habe dir in der andere Frage noch eine Antwort hinterlassen. :)Ich antworte auf deine Frage einmal dort. Nicht das du dich wunderst und wir durcheinander kommen :D   ─   christian_strack 31.03.2021 um 16:55

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