Hallo,

du hast schon mal recht, dass wenn im zweidimensionalen zwei Vektoren nicht in die selbe Richtung zeigen, wir auch keinen Vektor finden können, der gleichzeitig zu beiden senkrecht verläuft. Im Prinzip ist das sogar die Definition von 2 dimensional (salopp gesprochen). Wir haben zwei linear unabhängige Richtungen.

Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ergibt das Skalarprodukt Null. Du kannst also folgenden Ansatz immer wählen

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} =0 $$

Nehmen wir mal einen deiner Vektoren, erhalten wir

$$ \begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} = 0n_1 + 2 n_2 =0 $$

Diese Gleichung kannst du lösen, indem du eine Unbekannte frei wählst und die andere in Abhängigkeit löst

$$ n_1 = t \Rightarrow 0t + 2n_2 =0 \Rightarrow n_2 =0 $$

Der Normalenvektor wäre also

$$ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Du könntest jetzt auch versuchen noch deinen zweiten Vektor hinzuzunehmen, und daraus ein "gewöhnliches LGS" machen und wirst feststellen, dass dieses nicht lösbar ist, außer durch den Nullvektor. 

In 3D kannst du ähnlich vorgehen. Nun haben wir aber 2 Vektoren, zu dem wir einen senkrechten suchen

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \quad \land \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 $$

Daraus erhälst du wieder ein unterbestimmtes LGS, dass du durch Wahl einer Unbekannten lösen kannst. 

Du könntest es auch mit einem Vektor durchführen, müsstest dann aber 2 Parameter frei wählen. 

Die Formel die du dort angegeben hast entsteht, wenn man ganz allgemein das LGS löst, dass durch

$$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \quad \land \quad \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 $$

entsteht. Man nennt diese Formel auch Kreuzprodukt. Dafür gibt es eine Schema, mit dem man sich das vielleicht etwas besser merken kann. 
Schau dafür mal hier rein, unterhalb des Lachsfarbenen (?) Blocks. 

In 2D ist die Formel viel einfacher. Du kannst ja mal versuchen, ganz allgemein

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} =0 $$

zu berechnen.

Grüße Christian