Für \(x>0\) und \(x<0\) ist es einfach zu sehen, dass die Funktion an diesen Stellen differenzierbar ist, dafür hast du ja schon die Ableitung angegeben. Also müssen wir uns nur noch um \(x=0\) kümmern.
Per Definition müssen wir überprüfen, ob \(\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h^3|}{h}\) existiert. Berechne dafür den links- und den rechtsseitigen Grenzwert einzeln. (denn da kannst du jeweils den Betrag auflösen, da du das Vorzeichen von \(h\) kennst.) Wenn die beiden Grenzwerte gleich sind, dann ist das auch der Wert des gesamten Grenzwertes und die Ableitung existiert.
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Klingt verwirrend, aber wenn h<0 dann ist h ja negativ also -h positiv und das ist der Betrag |h| für h<0. ─ scotchwhisky 29.01.2021 um 05:31