Differentierbarkeit einer Funktion zeigen

Aufrufe: 480     Aktiv: 29.01.2021 um 05:31

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Hallo :)

Ich soll bei der Funktion \(x\rightarrow |x^3|\) untersuchen, ob diese differenzierbar ist. Leider habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich das machen könnte.

Die ableitung der Funktion ist ja \(3x^2\)  bzw. \(-3x^2\) oder?


Danke schonmal

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Für \(x>0\) und \(x<0\) ist es einfach zu sehen, dass die Funktion an diesen Stellen differenzierbar ist, dafür hast du ja schon die Ableitung angegeben. Also müssen wir uns nur noch um \(x=0\) kümmern.

Per Definition müssen wir überprüfen, ob \(\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h^3|}{h}\) existiert. Berechne dafür den links- und den rechtsseitigen Grenzwert einzeln. (denn da kannst du jeweils den Betrag auflösen, da du das Vorzeichen von \(h\) kennst.) Wenn die beiden Grenzwerte gleich sind, dann ist das auch der Wert des gesamten Grenzwertes und die Ableitung existiert.

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Für positive \(h\) kommt \(h^2\) raus, für negative \(-h^2\). Das ändert aber natürlich nichts am Grenzwert, also ist die Funktion an der Stelle differenzierbar und die Ableitung ist 0, ganz genau. Du kannst auch mit dem Differentialquotienten die Ableitung für die anderen Punkte bestimmen, wenn du möchtest. Die Rechnung ist ein bisschen länger, aber auch nicht schwierig. Einfacher ist es aber eben zu sagen, dass z.B. für \(x>0\) die Funktion in einer Umgebung von \(x\) gleich der Funktion \(x^3\) ist und diese differenzierbar ist.   ─   stal 28.01.2021 um 18:59

Du musst das wegen dem Betrag anders schreiben. Wie ich gesagt habe, mach den links- und rechtsseitigen Grenzwert einzeln. Für \(h>0\) gilt \(|h|=h\), für \(h<0\) gilt \(|h|=-h\).   ─   stal 28.01.2021 um 19:28

Doch. genau wie oben beschrieben. |h| = -h für h<0.
Klingt verwirrend, aber wenn h<0 dann ist h ja negativ also -h positiv und das ist der Betrag |h| für h<0.
  ─   scotchwhisky 29.01.2021 um 05:31

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