Modulare Arithmetik, Beweise zur Teilbarkeit

Aufrufe: 169     Aktiv: 24.12.2023 um 22:03

0

Wir haben im letzten Vorlesung gesehen wie man beweisen kann, warum eine Zahl durch 3 teilbar ist wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Der Thema heißt Modulare Arithmetik und da kam der Begriff kongruenz vor
a ≡ b (mod m) wenn m | a-b (m teilt a-b). Unter dem gab es 3 Sätze: 1) a+c ≡ b+d (mod m). 2) ac ≡ bd (mod m)
3) a^k ≡ b^k (mod m). Dann haben wir mithilfe von ein lemma 10^k ≡ 1^k (mod 3) folgendes bewiesen. 

Meine Frage: Kann man das auch mit andere Zahlen machen? z.B. die 4. Eine Zahl ist durch 4 Teilbar wenn ihre letzten 2 Ziffern durch 4 Teilbar sind.
wenn ja kann mir jemand sagen wie man dadrauf kommen kann?

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 107

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Ja, kann man. Aber es müssen nicht die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbar sein, sondern die Zahl, die aus diesen beiden Ziffern gebildet wird (achte auf genaue Formulierungen, denn nur die lassen sich im Beweis verwenden).
Probier doch mal selbst. Du benutzt $n=\sum a_k10^k$. Nun überleg Dir, wo in der Summe die zwei letzten Ziffern stehen. Spalte diesen Teil ab, betrachte den Rest (Indexverschiebung hilft).
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.49K

 

Ich habe keine ahnung wie man indizies hier schreiben kann wie a index k und so, benutze _ dafür erstmal
aber die zwei letzten Ziffern liegen glaub ich in a_r und a_r-1 glaub ich aber das problem ist jetzt ich brauche eine neue lemma weil 10^k wird sich nicht mehr wegkürzen lassen
10^k mod 3 ist kongruent zu 1 aber 10^k mod 4 nicht deswegen war ich am versuchen eine andere lemma zu machen aber bekomme sie nicht hin
  ─   omran_m765 24.12.2023 um 20:12

Du kannst sehen, wie andere die Formeln schreiben durch Markieren mit der Maus->show math as-> TeX commands. Dann hier einbetten zwischen Dollarzeichen.
Ich meinte, Du kannst andere Teilbarkeitsregeln auch mod. Arithm. beweisen, für die 4 geht es auch ohne das Lemma, denn: $n=\sum\limits_{k=0}^n a_k10^k = \sum\limits_{k=2}^n a_k10^k + 10a_1+a_0$ und der erste Summand ist ja durch 100 teilbar, also $\equiv 0$ mod4, also $\sum\limits_{k=0}^n a_k10^k\equiv 10a_1+a_0$ mod4
  ─   mikn 24.12.2023 um 22:03

Kommentar schreiben