Abstand Punkt/Geraden

Erste Frage Aufrufe: 199     Aktiv: 13.12.2022 um 11:16

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Ich habe 3 Geraden gegeben uns muss einen Punkt berechnen, der zu allen drei Geraden den gleichen Abstand hat.
Die geraden liegen alle paarweise Windschief im dreidimensionalen Raum.
g1:x=(0/1/0)+t*(1/2/-2)
g2:x=(0/0/1)+u*(2/-1/4)
g3:x=(1/0/0)+v*(-3/1/2)
t,u,v sind Element der Reellen Zahlen.
Vektoren sind aus technischem Mangel als Punkte ausgedrückt.
Bräuchte eure Hilfe um den richtigen Ansatz hinzubekommen. Ich hatte schon ein paar Ideen, die führten aber alle nicht weit.
VG Paul
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1 Antwort
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Du kennst doch sicherlich eine Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Du nimmst einen beliebigen Punkt mit entsprechenden beliebigen $x-,y-$ und $z$-Koordinaten. Dann hast du jeweils einen Abstand zu jeder der drei Geraden. Diesen setzt du nun gleich zu den jeweils anderen Abständen da diese ja alle gleich sein sollen. Dann erhältst du drei Gleichungen und damit ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, welches du nur noch lösen musst. Reicht dir das als ersten Hinweis? Fang damit erstmal an und wenn du nicht mehr weiter kommst bearbeite deine Frage und lade deinen Fortschritt als Bild hoch. Dann sehen wir weiter.
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Danke für deine Antwort. Ich habe es jetzt probiert hänge aber trotzdem immer wieder. Könntest du vielleicht nochmal erklären, wie ich zu dem Gleichungssystem komme oder ein Beispiel geben.
VG Paul
  ─   usercf528c 07.12.2022 um 19:19

Wo hängst du denn fest? Lade doch deinen Fortschritt einfach hoch dann sieht man besser wo es hakt.
Als Tipp du erhältst doch $d_1$ als Abstand des Punktes zu $g_1$ und entsprechend $d_2$ und $d_3$. Dann entstehen deine drei Gleichung durch Gleichsetzen von $d_1$ und $d_2$, $d_1$ und $d_3$ sowie $d_2$ und $d_3$. Klar?
  ─   maqu 07.12.2022 um 20:10

Hey danke für die Hilfe, aber ich kann doch nicht einfach beliebige Zahlenwerte als Koordinaten nehmen oder?
Könntest du vielleicht mal den Abstand für d1 vorrechnen, damit ich dann zumindest einen Ansatzpunkt für das Vorgehen habe?
Sonst verzweifle ich hier glaube ich;)
  ─   usercf528c 07.12.2022 um 22:26

Ich werde dir nichts vorrechnen, erstens lernst du davon nichts und zweitens glaube ich du kannst das selbst. Wie ich dich schon in meiner Antwort gefragt habe, kennst du die Formel für die Abstandsberechnung nicht? Diese sollte doch bekannt sein wenn du eine solche Aufgabe lösen sollst, oder nicht? Ich nehme dir jetzt die Arbeit ab dich mit deinen Unterlagen auseinanderzusetzen wenn ich dir die Formel präsentiere. Das widerspricht eigentlich meiner Einstellung. Für die Zukunft, genau das sind die Momente wo man wirklich was lernt!
Unter folgendem Link findest du die Formel https://de.serlo.org/mathe/2137/abstand-eines-punktes-zu-einer-geraden-berechnen-analytische-geometrie
Da der Punkt unbekannt ist setzt man einfach $x,y$ und $z$ als Unbekannte des Vektors $\vec{p}$. Du erhältst für $d$ in deinem Fall also einen Term mit den drei Unbekannten. Was erhältst du jetzt für $d_1$?
  ─   maqu 07.12.2022 um 22:50

Habe jetzt für d1= (-2x-2z+2/2x+z/2x-y-1):3.
Hoffe das ist soweit richtig und werde jetzt erstmal weitermachen.
Danke für den Tipp.
  ─   usercf528c 07.12.2022 um 23:19

Dein $d_1$ kann schon deswegen nicht stimmen weil du einen Vektor heraus hast. Der Abstand ist doch aber eine Länge. Die Länge des Richtungsvektors durch die du teilst stimmt mit $3$. Bilde nacheinander erst den Vektor $(\vec{p}-\vec{a})$ dann mit dem Kreuzprodukt $(\vec{p}-\vec{a})\times \vec{b}$ den nächsten Vektor und dann von diesem die Länge. Da kommt ein Term heraus den du dann drittelst kein Vektor.   ─   maqu 08.12.2022 um 00:05

Ich kann kein Bild hochladen.
Mein Gleichungssystem ist jetzt:
1. 24x+12y^2-96y+12z^2-15z+50=0
2. -9x^2+76x+14y^2-61y+5z^2-67z+25=0
3. -7x^2+140x+7y-7z^2-133z-35=0
Ich habe aber keinen Plan wie ich das jetzt lösen soll.
  ─   usercf528c 08.12.2022 um 13:50

Ich habe jetzt noch nicht die Zeit gehabt es nachzurechnen. Ich versuche heute nach der Arbeit die Zeit dafür zu finden und gebe dann Rückmeldung.   ─   maqu 09.12.2022 um 08:43

Jup das wäre hilfreich.
Dankeschön
  ─   usercf528c 09.12.2022 um 16:47

Hat vielleicht sonst noch wer eine Idee/Vorschlag?   ─   usercf528c 13.12.2022 um 11:16

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