Hallo ihr Lieben, ich habe folgendes gegeben:
\( K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{4} \leq 1\right\} \) und \( f: K \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{x+y^{2}} \) und soll die lokalen Extremstellen von $f$ berechnen. Mir ist dabei das Innere von $K$ erstmal egal, es geht mir eigentlich nur um die Nebenbedingung $g(x,y)=x^2+y^4-1=0$.

Nach unserer Vorlesung ist die notwendige Bedinung zur Existenz von Extrema:
$\nabla f = \lambda \nabla g$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$ e^{x+y^2}=\lambda 2x$
$ 2ye^{x+y^2}= 4 \lambda y^3$

In unserem Lösungen zu der Aufgabe haben wir da auf einmal eine Fallunterscheidung reingebastelt, welche ich allerdings nicht wirklich nachvollziehen konnte. Gibt es für sowas irgend ein systematisches Vorgehen, um dieses Gleichungssystem zu lösen?