Extrema unter Nebenbedingung/Gleichungssystem lösen

Aufrufe: 74     Aktiv: 18.07.2022 um 12:42

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Hallo ihr Lieben, ich habe folgendes gegeben:
\( K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{4} \leq 1\right\} \) und \( f: K \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{x+y^{2}} \) und soll die lokalen Extremstellen von $f$ berechnen. Mir ist dabei das Innere von $K$ erstmal egal, es geht mir eigentlich nur um die Nebenbedingung $g(x,y)=x^2+y^4-1=0$.

Nach unserer Vorlesung ist die notwendige Bedinung zur Existenz von Extrema:
$\nabla f = \lambda \nabla g$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$ e^{x+y^2}=\lambda 2x$
$ 2ye^{x+y^2}= 4 \lambda y^3$

In unserem Lösungen zu der Aufgabe haben wir da auf einmal eine Fallunterscheidung reingebastelt, welche ich allerdings nicht wirklich nachvollziehen konnte. Gibt es für sowas irgend ein systematisches Vorgehen, um dieses Gleichungssystem zu lösen?
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Dazu gehört noch $ g(x,y)=0$, dann sind es drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Das Auflösen ist Übungssache, viel Ausprobieren. Fehlversuche schaden nicht und fördern auch die Erfahrung. Generell Divisionen durch Unbekannte möglichst vermeiden, weil das Fallunterscheidungen nach sich zieht. Faktorisieren ist oft hilfreich, so auch hier. Beachte den Satz vom Nullprodukt.
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Also mehr oder weniger die Standard-Sachen. Hatte gehofft, dass es da irgendein spezifisches Schema gibt, weil die Gleichungen ja jetzt auch mit den mit bekannten Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen nicht sonderlich einfach sind. Ist halt für die Klausur sehr unpraktisch, wenn der Erfolg der Aufgabe von ausprobieren und gut Glück bei der Auswahl der Funktion abhängt.   ─   etefano 18.07.2022 um 11:37

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Die Unsicherheit verstehe ich, der Erfolg hängt halt von der Übung ab. Rechne viele solcher Aufgaben. Lasse Deine Rechnung kontrollieren (z.B. hier), man kann leicht richtig rechnen, aber Kandidaten für Extremstellen unterwegs verlieren.   ─   mikn 18.07.2022 um 12:18

Ja genau das ist halt bei sowas meine Befürchtung. Dass man halt die offensichtlichen Sachen findet, aber dann so "versteckte Lösungen" übersieht. Ja jut, Übung macht den Meister   ─   etefano 18.07.2022 um 12:25

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Noch was: Beim Faktorisieren muss man natürlich auch die Fälle durchgehen (beim Dividieren übersieht man die aber sonst leicht).
Auch muss man aufpassen, die gefundenen x und y richtig als Punkte zusammenzubringen. Die Lösungen sind stets (bei 2 Unbekannten) Zahlenpaare (x,y). $\lambda$ interessiert hier nicht, muss man also auch nicht ausrechnen.
In diesem Beispiel findet man zwei Kandidaten für Extremstellen unter der NB. Ob es wirklich Extremstellen sind (und welches ggf. Max. und welches Min. ist), muss man auf anderem Weg klären.
Also: geordnet vorgehen und üben.
  ─   mikn 18.07.2022 um 12:42

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