Du musst die Fahrtwege der Fähren mit Hilfe einer Geradengleichung darstellen, die die Geschwindigkeit beinhaltet. Die Geradengleichung gibt dir dann die Position zu jedem Zeitpunkt \(t\).

Die Gleichung besteht aus mehreren Komponenten:

1. Startpunkt der Fähre (als Ortsvektor) \(\vec{s}\)

2. Geschwindigkeit \(v\) der Fähre

3. Parameter (hier die Zeit \(t\))

4. Richtung, in die die Fähre fährt (als NORMIERTER Richtungsvektor) \(\vec{u}_0\)

Insgesamt:

\(F:\vec{x}=\vec{s}+v*t*\vec{u}_0\)

Jetzt musst du nur alle Größen finden, um die Gleichungen für die Fähren zu erstellen.

Die Geschwindigkeit von \(F_1\) berechnet sich mit \(v=\frac{s}{t}\). In der Aufgabe wird gesagt, dass die Fähre in \(40\) Minuten von einem Punkt zu dem anderen Fährt (also ist \(t=\frac{2}{3}\) Stunden). Die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke \(s\) ist der Betrag des Vektors zwischen Punkt \(A\) und \(B\).

\(s=|\vec{AB}|=|\vec{OB}-\vec{OA}|=\sqrt{(-4)^2+16^2}=16.5\)

Daraus folgt: 

\(v=\frac{16.5\text{km}}{2/3\text{h}}=24.75 \text{km/h}\)

Der Richtungsvektor \(\vec{u}\) ist der Bereits berechnete Vektor \(\vec{AB}\). Dieser muss aber noch normiert werden:

\(\vec{u}=\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}=\) \begin{pmatrix}-0.24\\0.97\end{pmatrix}

Damit hast du die erste Gleichung für Fähre 1 gefunden.

\(F_1:\vec{x}=\vec{OA}+24.75\text{km/h}*t*\vec{u}\)

Die Position nach einer halben Stunde berechnest du nun einfach, indem du \(t=0.5\) einsetzt. Dann erhälst du:

\begin{pmatrix}13\\16\end{pmatrix}

als Position nach einer halben Stunde.

Analog gehst du für die zweite Fähre vor.

Zu c)

Hier musst du zuerst eine Funktion finden, die dir den Abstand der Fähren in Abhängigkeit von der Zeit gibt. Angenommen wir nennen den Punkt der Fähre 1 zum Zeitpunkt \(t\) \(F_{1}\) und den der Fähre zwei \(F_2\). Die Ortsvektoren der Punkte sind

\(\vec{OF_1}\) und \(\vec{OF_2}\).

Der Abstandsvektor \(\vec{d}\) zwischen den Fähren ist

\(\vec{d(t)}=\vec{OF_2}-\vec{OF_1}\)

Der Abstand \(d(t)\) ist dann der Betrag des Vektors,

\(d(t)=|\vec{d(t)}|\)

Nun hast du eine Abstandsfunktion in Abhängigkeit von der Zeit. Der minimale Abstand ist beim Minimum dieser Funktion zu finden. WIe du dieses bestimmst, ist dier überlassen. Entweder per Hand oder mit dem Taschenrechner. Als Ergebnis erhälst du den Zeitpunkt des minimalen Abstandes \(t_{min}\) und damit auch den Abstand selbst, dieser ist \(d(t_{min})\). Ich hoffe das reicht erstmal, sodass du es selbst versuchen kannst. Wenn ich dir den Rest auch noch vorrechen soll, sag einfach Bescheid.