Bei den Stapel haben wir noch zu klären, ob die Reihenfolge in einem Stapel von Bedeutung ist und ob die Reihenfolge der Stapel eine Rolle spielt.

Ist die Reihenfolge in einem Stapel egal und wird die Vertauschung beider Stapel als zwei Möglichkeiten betrachtet, so gilt: Ich schau auf wieviele Möglichkeiten ich der Gesamtmenge von \(n\) Büchern eine beliebiege Zahl an Büchern entnehmen kann. Damit bild eich zwei Stapel: Den der entnommenen und den der resltichen Bücher:
\(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots +  \binom{n}{1} = 2^n \)

Alternative Erklärung: ich habe für jedes der \(n\) Bücher zwei Möglichkeiten: linker oder rechter Stapel, also: \(\underbrace{2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{n-mal} = 2^n\).

Ist nun die Reihenfolge in einem Stapel egal und wird die Vertauschung beider Stapel nicht als zwei Möglichkeiten betrachtet, so teilen wir das Ergebnis von vorher durch zwei: \(\frac{2^n}{2} = 2^{n-1}\).

Ist die Reihenfolge in einem Stapel wichtig und wird die Vertauschung beider Stapel als zwei Möglichkeiten betrachtet, so stellenwir und vor, dass wir die Bücher in eine Reihe legen und die Stapel bilden, indem wir zwischen zwei Büchern einfach die Stapelgrenze ziehen. Es gibt also \(n!\) Reiehnefolgen und \((n+1)\) mögliche Stapelgrenzen. Somit ergibt sich:

\(n!(n+1)= (n+1)!\)

Ist die Reihenfolge in einem Stapel wichtig und wird die Vertauschung beider Stapel nicht  als zwei Möglichkeiten betrachtet, so teilen wir wieder durch zwei.

\(\frac{(n+1)!}{2}\)