Doppelbruch

Aufrufe: 142     Aktiv: 09.11.2021 um 14:27

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Hallo MathefragenCommunity,

ich habe Mal eine Frage zu folgendem Term: 1/1+(1/a) - 1/2a +a^-1
Bereits umgestellt habe ich es zu hierzu: 1/((a+1)/a)-1/2a+1/a. 
Folgenden Part habe ich dann zusammengefasst 1/((a+1)/a)-1/2a -> (2a-(a+1/a)) / 2a+a.
Dann wollte ich diesen Term mit 1/a addieren (2a-(a+1/a)) / 2a+a + 1/a. Als Endzusammenfassung ist es: 2a^2+2a/2a^2+a^2
Wenn ich jedoch den Doppelbruch(erster Bruch im folgenden Term) bei 1/((a+1)/a)-1/2a+1/a zu a/a+1-1/2a+1/a gerändert hätte, käme folgendes Ergebnis:
2a^3+a^2+a/2a^3+2a^2 zusammengefasst.
Warum muss ich den Doppelbruch auflösen, um auf folgendes zu kommen 2a^3+a^2+a/2a^3+2a^2. Hätte mein erster Versuch, mit dem Doppelbruch zu rechnen, überhaupt auch hierzu führen können? 2a^3+a^2+a/2a^3+2a^2

Ich hoffe, man versteht meine Frage.
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Benutze mathjax (siehe button links unten, nein das ist nicht schwer) oder setze korrekte Klammern. Ohne korrekte Klammersetzung ist völlig unklar, wie die Ausdrücke aussehen.   ─   mikn 04.11.2021 um 13:49

Oder du fotografierst es handgeschrieben ab uns fügst das Foto der Frage bei … das hilft auch ;)   ─   derpi-te 04.11.2021 um 14:17

Es geht um Folgendes: \( \frac {1} {1+ \frac {1} {a} } \) - \( \frac {1} {2a} \) + \(x^{-1}\)

Beim ersten Bruch habe ich den Nenner folgendermaßen geändert: \( \frac {1} {1+ \frac {1} {a} } \) -> \( \frac {1} {\frac {a+1} {a}} \)
Den dritten Bruch habe ich geändert zu: \( \frac {1} {a}\)

Also steht da jetzt: \( \frac {1} {\frac {a+1} {a}} \) - \( \frac {1} {2a} \) + \( \frac {1} {a}\)

Wenn man den Doppelbruch auflöst und dann zuerst den ersten und zweiten Bruch subtrahiert und den neu entstandenen Term(wenn man das so nennt) als Resultat der Subtraktion mit dem letzten addiert, sollte folgendes dastehen: \( \frac {2a^{3} + a^{2} +a} {2a^{3} + 2a^{2}} \)

Wenn ich jedoch den Doppelbruch nicht auflöse und dann mit diesem und dem zweiten Bruch subtrahiere und wiederum diesen neu entstandenen Term dann mit dem letzten Bruch addiere, kommt folgendes heraus(kann auch fehlerhaft sein, habs heute mehrmals schon gerechnet):
Zwischenschritt Doppelbruch - zweiter Bruch ( \( \frac {1} {\frac {a+1} {a}} \) - \( \frac {1} {2a} \) ), Ergebnis: \( \frac {2a - \frac {a+1} {a}} {2a +2} \) (Kommen um a+1/2 Klammern?)
Nächster Schritt: mit 1/a(letzter Bruch addieren) Endergebnis:
\( \frac {2a^{2}-a+2a+2} {2a^{2}+2a} \) bzw. \( \frac {2a^{2}+a+2} {2a^{2}+2a} \)

Also man sieht, dass die beiden sich unterscheiden.
Warum?
Edit: Selbst wenn ich \( \frac {1} {1+ \frac {1} {a} } \) - \( \frac {1} {2a} \) direkt subtrahiert hätte und dann wiederum den neu entstandenen Term mit dem letzten Bruch addiert hätte, würde ich ebenfalls etwas komplett anderes rauskriegen als \( \frac {2a^{3} + a^{2} +a} {2a^{3} + 2a^{2}} \)


btw. wenn ich Folgendes stehen habe:
\( \frac{2a^{3} - a^{2} -a + 2a^{2} +2a} {2a^{2} + 2a} \) dann darf ich 2a^2+2a nicht kürzen, denn oben im Nenner haben wir das ja als (Teil einer) Summe, oder?

  ─   user77253d 04.11.2021 um 16:54
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Wenn du \(2a-\frac{a+1}{a}\) auf einen Bruchstrich bringst, musst du um das a+1 dann eine Klammer setzen, da das Minus vor dem Bruch steht. Das ergibt dann \(\frac{2a^2-(a+1)}{a}\). Wenn du das dann richtig weiter rechnest, erhälst du das, was raus kommen soll.

Aus dem angegebenen Ergebnis kannst du nämlich oben und unten a ausklammern und kürzen, dann bist du bei deiner Lösung.
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danke für die Antwort. Ich kann mir jedoch nicht hundertprozentig zusammenreimen, was du meinst.
Könntest Du das netterweise bitte etwas vertieft zeigen :)
  ─   user77253d 04.11.2021 um 22:15

Wenn du den zweiten Bruch vom ersten Bruch subtrahierst, bekommst du \(\frac{2a^2-(a+1)}{a(2a+2)} = \frac{2a^2-a-1}{2a^2+2a}\). Nun den dritten Bruch addieren ergibt \(\frac{2a^2-a-1+2a+2}{2a^2+2a} = \frac{2a^2+a+1}{2a^2+2a}\).
Soweit ich das sehe, hast du vor deinem letzten Schritt das +1 von \(\frac{a+1}{a}\) einfach unter den Tisch fallen lassen.
Wenn du nun das Ergebnis, das rauskommt, mit dem Ergebnis \(\frac{2a^3+a^2+a}{2a^3+2a^2}\) vergleichst, siehst du, wie sie sich unterscheiden, nämlich genau so, wie ich es geschrieben habe.
Einen Tip hätte ich noch für dich: Du machst dir das Rechnen viel leichter, wenn du erst den 2. und den 3. Bruch zusammenfasst, die haben nämlich fast den selben Nenner. \(-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a} = \frac{-1+2}{2a} = \frac{1}{2a}\). Und das dann zum 1. Bruch addieren.
  ─   lernspass 05.11.2021 um 08:05

\(\frac{2a^3-a^2-a+2a^2+2a}{2a^2+2a}\) könnte man zusammenfassen in \(\frac{2a^3+a^2+a}{2a^2+2a}\). Daraus könntest du a kürzen. Aber das Ergebnis ist nicht das richtige Ergebnis deiner Rechnung.   ─   lernspass 05.11.2021 um 08:11

Wenn ich \( \frac {1} {\frac {(a+1)} {a}} - \frac {1} {2a} \) rechne, komme ich auf : \( \frac {2a-\frac {a+1} {a}} {2a+2} \). Wie ich gerechnet habe, Nenner mal Nenner(dann gekürzt) und dann Zähler1*Nenner2 - Nenner1*Zähler2. Ich glaube, Du hast den Doppelbruch zuerst aufgelöst und dann subtrahiert.
Meine Frage war eben, warum der Doppelbruch aufgelöst werden muss. Ich habe die ganze Zeit eben Doppelbruch(unaufgelöst)- zweiter Bruch gerechnet und wollte dann das subtrahierte, was ich bei "komme ich auf: .." geschrieben habe mit 1/a addieren. Aber da kommt eben was anderes raus.
Warum?
  ─   user77253d 05.11.2021 um 09:39

Dann schreib doch Mal dein Ergebnis, so wie du das hast bevor und nachdem du den Doppelbruch auflöst.   ─   lernspass 05.11.2021 um 09:41

Also folgende Version ist die, wenn Doppelbruch(nicht aufgelöst) - 1/2a vollzogen wurde und das Subtrahierte dann mit 1/a addiert wird:

\( \frac {2a-\frac {a+1} {a}} {2a+2} + \frac {1}{a} \) =

\( \frac{2a^2-\frac{a^2+a}{a}+2a+2} {2a^2+2a}\), den einen Bruch im Zähler gekürzt und Vorzeichen entsprechend angepasst:

\( \frac{2a^2-a-1+2a+2} {2a^2+2a}\) . Das kommt bei mir raus wenn man mit dem Doppelbruch subtrahiert hat.

Wenn ich jedoch den Doppelbruch auflöse und alle anderen bekannten Schritte schon einfach mal mache(Schreibaufwand) steht am Ende folgendes da:

\( \frac{2a^3-a^2-a+2a^2+2a}{2a^3+2a^2} \)

Warum? Unterscheidet sich das? Das 1/ beim Doppelbruch kehrt ja nur den Nenner um, wenn man den jedoch lässt dann sollte doch am Ende das gleiche rauskommen.
  ─   user77253d 05.11.2021 um 10:05

Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie es zu dem \(a^3\) in dem Ausdruck kommen soll.
\(\frac{1}{1+\frac{1}{a}} - \frac{1}{2a}+\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{a+1}{a}} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{a}{a+1} - \frac{1}{2a} +\frac{1}{a}\)
Bis hierher habe ich nur den Doppelbruch aufgelöst, jetzt zusammenfassen auf den gemeinsamen Nenner \((a+1)\cdot2a\)
Das ergibt
\(\frac{2a\cdot a-(a+1)+2(a+1)}{2a(a+1)} = \frac{2a^2+a+1}{2a^2+2a}\)
\(a^3\) bekomme ich doch nur dann, wenn ich als Hauptnenner \((a+1)\cdot2a\cdot a\) nehme, was ich nicht brauche, da \(\frac{1}{2a}\) und \(\frac{1}{a}\) quasi schon den selben Nenner haben. Ich muss nur den hinteren Bruch mit 2 erweitern.
  ─   lernspass 05.11.2021 um 11:03

Und genau um dieses eine a, das du aus deinem letzten Bruch kürzen kannst, unterscheiden sich deine beiden Brüche.   ─   lernspass 05.11.2021 um 11:07

Hi lernspass, ich hab mittlerweile die Aufgabe nochmal angeschaut und einen simplen Denkfehler gehabt. Der Grundterm stammt übrigens aus einem Video von Daniel. Ich habe das Video in den letzten Sekunden zu früh gestoppt, als dass ich noch gesehen hätte, dass er das a aus seiner Rechenvariante am Ende rausgekürzt hat. Mein Ergebnis ohne das Auflösen des Doppelbruchs war die ganze Zeit die gekürzte Variante von dem Video, welche übrigens ein 2*a^3 beinhaltete.
Zwischenzeitlich habe ich vielleicht bisschen zu sehr an der Aufgabe gehangen, sodass sich bei manchen der Versuchen schon kleine Fehler einschlichen.
Aber Ende gut alles Gut, war am Ende alles korrekt. Danke für Deine Hilfe.
  ─   user77253d 09.11.2021 um 14:12

Hallo user77253d, sehr schön, dass jetzt wirklich alles geklärt ist. ;))   ─   lernspass 09.11.2021 um 14:26

Dann kannst ja auch noch den Haken an die Antwort machen.   ─   lernspass 09.11.2021 um 14:27

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