Ich nehme mal an, dass die Kurve über den reellen Zahlen zu betrachten ist. Keine waagerechte Tangente bedeutet, dass die Steigung nicht Null sein darf. Also darf die Ableitung \( y^\prime = 3x^2 + 2ax + b \) keine Nullstelle besitzen. Dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörige Diskriminante \( D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 4a^2 - 12b \) kleiner als Null ist. Die Bedinung lautet also \( 4a^2 - 12b < 0 \) bzw. \( a^2 < 3b \). (An \(c\) muss hier keine Bedinung gestellt werden. Das entspricht auch genau der Intuition, denn dieser Wert gibt ja im Wesentlichen die Verschiebung auf der \(y\)-Achse an und dies hat keine Auswirkung auf die Tangentensteigung).