Konvergenz von Folgen

Aufrufe: 207     Aktiv: 09.11.2023 um 15:10

0
Gegeben ist die Folge 
$$
a_n = \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^2
$$

Es soll untersucht werden ob diese konvergent ist für $n \rightarrow \infty$ und es soll ggf. der Grenzwert angegeben werden. 

Als Tipp wird das Sandwich Lemma, die Bernoullische Ungleichung und der Binomische Lehrsatz angegeben. Ich bin überfragt.
Das Sandwich Lemma bedeutet ja letztendlich, die Grenzwerte nach oben und nach unten Abzuschätzen in dem man der Funktion z.B. einen Summanden nimmt oder hinzugibt.  ... nach unten hin würde ich das so machen: 

$$
(1)^n \leq \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^2
$$

Also der Summand $\frac{1}{n^2}$ wird entfernt. 

Nach oben hin komme ich zu keinem guten Ergebnis. Bei Bernoulli ungleichung und dem Binomischen Lehrsatz komme ich in Andwendung nicht weiter.

EDIT vom 09.11.2023 um 14:46:

[Korrektur]
es soll 

$$
a_n=\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^n
$$

heißen
gefragt

Student, Punkte: 12

 

Prüfe nochmal die Folge, stimmt der Exponent so?   ─   mikn 09.11.2023 um 13:36

du hast recht .. der Exponent nach der großen Klammer soll natürlich $n$ heißen   ─   user45b170 09.11.2023 um 13:38
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Eine Abschätzung nach unten hast Du ja schon. Für eine nach oben schreiben wir erstmal um, um die BUngl anwenden zu können:
$\frac1{(1+\frac1{n^2})^n} = \left(\frac1{1+\frac1{n²}}\right)^n =...$
Bringe das in eine Form, dass die Anwendung der BUngl erlaubt mit $\ge$. Bilde dann den Kehrwert auf beiden Seiten und erhalte eine schöne Abschätzung nach oben, die mit dem Sandwich-Lemma alles klar macht.
Bin. LS braucht man dabei nicht.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.14K

 

Kommentar schreiben