Implikation Differenzierbarkeit

Aufrufe: 70     Aktiv: 08.01.2022 um 06:48

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Guten Abend, 
wir sitzen gerade an einer Aufgabe und wollten fragen, ob eine Implikation stimmt:

f stetig total differenzierbar => f stetig partiell differenzierbar.

Vielen Dank
Tom
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Hallo Tom und mikn, was versteht ihr denn unter "stetiger totaler Differenzierbarkeit"? Ich kenne diesen Begriff bisher nicht und finde ihn auch nicht im verlinkten Wikipedia-Artikel.   ─   tobit 07.01.2022 um 19:35

Ich verstehe darunter das naheliegende, was man auch leicht im Internet findet.   ─   mikn 07.01.2022 um 23:29

Die einzige von mir gefundene Internetquelle, in der von "stetiger totaler Differenzierbarkeit" die Rede ist, ist die Musterlösung https://www.math.uni-hamburg.de/home/schwenninger/probeklausur2lsg.pdf Teil C Aufgabe 1 (3). Dort wird offenbar "stetig total differenzierbar" als direktes Synonym für "stetig partiell differenzierbar" verstanden.

Als "naheliegend" könnte man vielleicht folgende Definition ansehen? Eine Funktion $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ heißt stetig total differenzierbar, wenn $f$ total differenzierbar ist und die Abbildung $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^{n\times m},\;x\mapsto D_f(x)$ stetig ist. Dazu wäre $\mathbb{R}^{n\times m}$ mit einer Topologie zu versehen, wobei ich vorschlagen würde, eine von einer Norm induzierte Topologie zu verwenden (da alle Normen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum äquivalent sind, kommt es nicht auf die genaue Wahl der Norm an). Habe ich damit getroffen, was du meinst? Auch dieser Begriff von "stetiger totaler Differenzierbarkeit" wäre äquivalent zu stetiger partieller Differenzierbarkeit.

Ich vermute, dass der Begriff der "stetigen totalen Differenzierbarkeit" deshalb unüblich ist, weil er sich letztlich so oder so nicht wirklich vom Begriff der stetigen partiellen Differenzierbarkeit unterscheidet.
  ─   tobit 08.01.2022 um 06:45
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Ja, stimmt. Wie man leicht im Internet finden kann: wikipedia
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