F differenzierbar, hilfe

Aufrufe: 56     Aktiv: 04.06.2021 um 16:22

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Heyho, hätte jemand einen Tipp, wie ich die c) zeigen kann? ich hab das in unserem Skript/Vorlesung nicht so verstanden. Habe in a) die partiellen Ableitungen gezeigt und in b) die stetigkeit widerlegt, das ging auch alles soweit so gut, nur die c) macht mir etwas probleme. Jede Hilfe wäre super lieb :)
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Vieles rund um Differenzierbarkeit ist auf wikipedia gut erklärt, auch mit Beispielen, was alles so auftreten kann, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit
Hier gilt ja, wie Du hoffentlich in a) herausgefunden hast: \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =0\). Die Ableitung (die eine lin. Abb. ist, auch wenn sie aussieht wie ein Vektor) ist dann die Nullabbildung, was man durch
\(\frac{f(h_1,h_2) - f(0,0) - \begin{pmatrix} 0&0\end{pmatrix}\cdot\binom{h_1}{h_2}}{\|(h_1,h_2)\|} \longrightarrow 0\) für \((h_1,h_2)\longrightarrow 0\)
nachweist.
Das ist aber nicht schwer, in der 2-Norm. Bei Problemen melde Dich nochmal.
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Ich verstehe das noch nicht ganz mit dem h, wie zeige ich das das alles gegen 0 geht ohne durch 0 zu teilen? Vielleicht stehe ich auch grade etwas auf dem Schlauch.   ─   userd43151 04.06.2021 um 16:03

Erstmal setzt man alles in den Bruch ein, das hast Du wohl noch nicht gemacht?
Ähnliche Brüche sollten beim Nachweis der part. Diffbarkeit in (0,0) auch aufgetreten sein,
  ─   mikn 04.06.2021 um 16:21

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\(\frac{f(h,h)-f(0,0)}{h}=\frac{h^2sin(\frac{1}{|h|\sqrt 2})-f(0,0)}{h}=hsin(\frac{1}{|h|\sqrt 2})\)
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Das ist alles? muss ich nicht noch was mit dem h machen?
  ─   userd43151 04.06.2021 um 11:28

weiter rechnen für \(h\to 0\)!!   ─   gerdware 04.06.2021 um 13:24

Das reicht auch nicht. (h,h) ist nur eine Nullfolge von vielen in R^2. Und im Nenner steht auch nicht h. Und der Zähler stimmt auch nicht für diese Beispielfolge.   ─   mikn 04.06.2021 um 13:42

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