Differenzierbarkeit

Aufrufe: 929     Aktiv: 05.03.2020 um 18:36

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Hallo Leute,

könnte mir jemand erklären, Wie ich bei b) Die Differenuierbarkeit bestimme? Ich habe die Ableitungen gebildet. Die

Funktionen sind auch stetig. Was dann?

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Student, Punkte: 370

 
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Da es sich um Polynome handelt sind diese nicht nur stetig, sondern auch beliebig oft diff.-bar. Du meinst aber sicherlich, dass \(f\) auf \(I\) stetig ist.

Du musst zeigen, dass der beidseitige Grenzwert an den kritischen Stellen \(x_0=-2, \, x_1=0\) existiert.

\(f'(x) = \begin{cases}2&&x\in (-4,-2) \\-2(x+1)& \text{für} &x\in (0,2) \\ 1& &x\in (2,4)\end{cases}\)

Für \(x=x_0\) musst du also zeigen, dass gilt \(\lim\limits_{x\to -2^-}f'(x) = \lim\limits_{x\to -2^-}2 \; \stackrel{!}{=}\; \lim\limits_{x\to -2^+}f'(x) = \lim\limits_{x\to -2^+}-2(x+1)\) gilt.

Analog dazu verfährst du mit \(x_1\).

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Hallo,
für x0 kommen andere Werte raus? Einmal 2 und -2(x-1). Die 2 bleibt so. Das danach konvergiert gegen unendlich? Also sind beide Werte nicht gleich und folglich nicht differenzierbar? Reicht das nicht, um zu sagen, dass f(x) nicht differenzierbar ist??
  ─   kamil 05.03.2020 um 09:50

Wieso ist es denn differenzierbar, ich verstehe es nicht.. :/   ─   kamil 05.03.2020 um 12:19

Also \(\lim\limits_{x\to -2^-}2\) ist 2.
Und \(\lim\limits_{x\to -2^+}-2(x+1)\) ist \(-2(-2+1) = -2(-1) = 2\). Also stimmen der links- und rechtsseitige Grenzwert überein. Also ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar.
  ─   maccheroni_konstante 05.03.2020 um 12:25

Aber wieso setze ich -2 für x ein, wenn ich von + komme? Muss ich nicht positive Zahlen einsetzen?   ─   kamil 05.03.2020 um 12:37

Nein, das bedeutet, dass du dich von rechts an die -2 annäherst, sprich -1.9 -> -1.99 -> -1.999 -> usw.
Von links wäre das -2.01 -> -2.001 -> -2.0001 usw.
  ─   maccheroni_konstante 05.03.2020 um 17:47

Ahh so ist das gemeint danke :)   ─   kamil 05.03.2020 um 18:36

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