Mengenlehre

Erste Frage Aufrufe: 234     Aktiv: 14.12.2023 um 19:42

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Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Sitz da jetzt schon ewig dran und komm nicht weiter.

Beweisen Sie folgende Regeln ausschließlich mittels der Mengenregeln. Geben Sie an, welche Regel sie verwenden.

(X ∪ Y) \ (X ∪ Z) = (Y ∪ Z) \ (X ∪ Z)

Dankeee

gefragt

Punkte: 10

 

Was sind denn das für Mengen bzw. Zeichen? Ist das Y links das gleiche wie das Y rechts? Dann stimmt die Aussage nicht. Poste ein Foto der Aufgabe (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 13.12.2023 um 21:44

Die Aufgabe ist genau so aus dem Blatt rauskopiert, wie ich sie bekommen habe. Mehr Information stehen da leider auch nicht bei :/   ─   user0afdac 13.12.2023 um 21:53

Poste trotzdem bitte ein Foto der gesamten Aufgabe, von Anfang bis Ende (wenn sie aus mehreren Teilen besteht, dann alle Teile).   ─   mikn 13.12.2023 um 22:01

"rauskopieren" ist eine schlechte Idee bei Sonderzeichen, daher die Bitte um ein Foto. Die Gleichung sieht je nach Kodierung anders aus. So wie sie mir angezeigt wird, ist sie falsch. Anscheinend liest m.simon sie anders, so dass sie richtig ist.   ─   mikn 14.12.2023 um 19:20

Also mir wird \( (X \cup Y) \setminus (X \cup Z) = (Y \cup Z) \setminus (X \cup Z) \) angezeigt und das sollte eigentlich auch stimmen.   ─   42 14.12.2023 um 19:29

Informell gesprochen: Ich kann zu \( Y \) Elemente aus \( X \) oder \( Z \) hinzunehmen, da diese durch \( \setminus (X \cup Z) \) eh wieder herausgenommen werden.   ─   42 14.12.2023 um 19:32

Wenn ich es mit copy-paste hierhin (in diesen Kommentar) kopiere, wird mir das auch angezeigt. Aber oben nicht.   ─   mikn 14.12.2023 um 19:42
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Du kannst foldendermaßen sowohl die linke als auch die rechte Seite in \( Y \cap (X \cup Z)^c \) umformen:

1. \( A \setminus B = A \cap B^c \)

2. \( (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \) (Distributivgesetz)

Hast du die linke Seite so umgeformt, müsstest du einen Ausdruck \( (\dots) \cup (Y \cap (X \cup Z)^c) \) erhalten. Für die rechte Seite kommt ein Ausdruck \( (Y \cap (X \cup Z)^c) \cup (\dots) \) heraus. In der Klammer \( (\dots) \) kann man dann in beiden Fällen folgendermaßen fortfahren:

3. \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \) (De Morgansche Regel)

4. Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz kommt man dann auf einen Ausdruck der Form \( (A \cap A^c) \cap B \).

5. \( A \cap A^c = \emptyset \) 

6. \( \emptyset \cap A = \emptyset \)

7. In beiden Fällen müsstest du nun \( (\dots) = \emptyset \) gezeigt haben. Mit \( \emptyset \cup A = A \) bzw. \( A \cup \emptyset = A \) folgt dann für beide Seiten die gewünschte Gleichheit zu \( Y \cap (X \cup Z)^c \).
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