Algebraische und geometrische Vielfachheit

Aufrufe: 6288     Aktiv: 15.02.2022 um 16:38

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Ich kenne die Definitionen von der algebraischen und geometrischen Vielfachheit, jedoch verstehe ich nicht, wie man diese genau untersucht. Ich weiß, dass man bei der algebraischen Vielfachheit guckt , wie oft ein eigenwert vorkommt: ob der eigenwert einzelnd, doppelt, etc. vorkommt (wenn zB bei einer 3x3 Matrix alle eigenwerte einzelnd vorkommen, ist dann die algebraische vielfachheit 3 ? Und falls alle eigenwerte gleich sind ist die algebraische vielfacher dann 1? Und wie ist es wenn der eigenwert einmal doppelt und einmal einzelndvorkommt ? Ist die algebraische vielfachheit dann 2, wegen den 2 gleichen Eigenwerten oder 1, wegen dem einzelnen Eigenwert??? )


das gleiche Problem habe ich bei den geometrischen Vielfachheit, nur dass es hier nun die eigenvektoren sind. Bei einer 3x3 Matrix, wenn zwei eigenwerte die gleichen EV haben, und der dritte EW ein anderen EV hat, wie ist dann die geometrische Vielfachheit ? Und wie ist die wenn alle EW verschiedene EV haben oder wenn alle EW den gleichen EV haben ? 


Und dann hätte ich noch die Frage , wie schreibt man sowas mathematisch korrekt auf?

ich weiß es ist vielleicht etwas kompliziert formuliert, nur konnte ich es leider nichts anders beschreiben

MfG

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Hallo,
die geometrische und algebraische Vielfachheit sind immer auf einen Eigenwert \(\lambda_i\) bezogen, man schreibt daher j auch \(d_{\lambda_i}\) und \(m_{\lambda_i}\). Die algebraische Vielfachheit beschreibt nun, wie oft der Eigenwert im charakteristischen Polynom vorkommt. Ist dein Polynom z.B. \(X_A=(x+3)^2(x-1)(x-5)\) lautet die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts \(\lambda_1=-3\): \(m_{-3}=2\) und die algebraische Vielfachheit der anderen Eigenwerte jeweils 1. Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des jeweiligen Eigenraums. Du berechnest also z.B. für -3 die Eigenvektoren der Matrix und liest die Dimension ab. Da zusätzlich bekannt ist, dass die algebraische Vielfachheit immer größer gleich der geometrischen Vielfachheit ist, weißt du direkt, dass die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte 1 und 5 jeweils genau 1 ist. Das musst du jetzt nur noch auf deine konkreten Aufgaben anwenden. 
MfG
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Vielen Dank für die Antwort. Ich habe soweit alles verstanden, bis auf zwei Punkte.
1. Schaut man auf die algebraische und geometrische Vielfachheit jeweils einzelnd auf die Eigenwerte z.B. bei einer 4x4 Matrix, dass jeweils alle 4 Eigenwerte einzelnd in algebraischer und geometrischer Vielfachheit übereinstimmen?
2. was ist mit d_{\lambda_i} und m_{\lambda_i} genau gemeint ?
3. wie lese ich die Dimension eines Eigenvektors ab ? jeder Vektor hat doch die Dimension, wie der Raum zB bei einem vektor mit x1, x2, x3 hat der eigenvektor doch automatisch auch 3 Dimensionen? unabhängig von den Werten oder ? oder ist es so, dass wenn einer der x-Werte 0 ist, dann hätte ein Vektor im R3 nur noch 2 Dimensionen ??
  ─   mbstudi 14.02.2022 um 19:36

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Zu
1. Ja.
2. \(d_{\lambda}\) und \(m_{\lambda}\) stehen für geometrische und algebraische Vielfachheit von \(\lambda\)
3. Du kriegst als Eigenvektoren einen oder mehrere Basisvektoren vom Lösen des Gleichungssystems \(A-\lambda\cdot I_n=0\). Die Anzahl der Basisvektoren gibt dir die geometrische Vielfachheit
  ─   fix 14.02.2022 um 20:56

Falls man beispielsweise bei einer 3x3 Matrix, 2 Eigenwerte hat, welche in algebraischer und geometrischer Vielfachheit übereinstimmen, aber der dritte Eigenwert nicht in algebraischer und geometrischer Vielfachheit übereinstimmt, so könnte man die Matrix beispielsweise nicht diagonalisieren ? (da nicht alle Eigenwerte einzelnd in den beiden Vielfachheiten übereinstimmen ? ist das so richtig ? Zum Diagonalisieren einer Matrix müssen alle Eigenwerte in algebraischer und geometrischer Vielfachheit übereinstimmen?
  ─   mbstudi 14.02.2022 um 23:53

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theoretisch wäre das richtig, da du dann aber 3 verschiedene Eigenwerte in einem Polynom dritten Grades hättest, wäre die algebraische Vielfachheit aller Eigenvektoren gleich 1 und somit auch deren geometrische Vielfachheit. Wie ihr in der Vorlesung sicher besprochen habt, ist eine Matrix daher immer diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat.   ─   fix 15.02.2022 um 15:43

Vielen Dank ich glaube ich hab es jetzt verstanden. Wenn eine zB eine 4x4 Matrix, 4 verschiedene Eigenwerte hat, dann hat sie somit auch 4 verschiedene linear unabhängige Eigenvektoren, was bedeutet, dass diese Matrix in algebraischer und geometrischer Vielfachheit übereinstimmt, sodass sie diagonalisierbar ist. Jetzt stellt sich mir die Frage, bedeutet dies nicht, dass sobald eine NxN Matrix, weniger als N verschiedene Eigenwerte hat, dass somit die algebraische und geometrische Vielfachheit dieser Matrix nicht übereinstimmen können?? (Da ein Eigenwert ja nur einen eigenvektor haben kann —-> dass würde dann heißen, falls zB ein eigenwert doppelt vorkommen würde bzw. 2 einzelne Eigenwerte den selben Wert haben, dann ist somit auch die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische ?? Da 2 eigenwerte ja nur 1( den selben) eigenvektor haben müssen ?? Also algebraische Vielfachheit 2 ( 2 mal gleicher Eigenwert ) und geometrische Vielfachheit 1 (beide haben selben eigenvektor)

Gibt es auch 2 identische eigenwerte, die verschiedene eigenvektoren haben können? Dürfte ja eigentlich nicht sein
  ─   mbstudi 15.02.2022 um 16:02

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Identische Eigenwerte haben den selben Eigenraum und somit die selben Eigenvektoren. Nimm dir jetzt eine 4x4 Matrix. Sagen wir die Matrix hat die Eigenwerte 1, -2 und 3. Da der Term \((x-3)\) in charakteristischen Polynom doppelt vorkommt, und die Terme \((x-1)\) und \((x+2)\) jeweils nur einmal, kannst du die algebraische Vielfachheit ablesen: \(m_1=1\), \(m_{-2}=1\) und \(m_3=2\). Du weißt also, dass auch die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte 1 und -2 gleich 1 ist. Wenn die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 3 nun 2 ist, ist die Matrix diagonalisierbar, wenn sie 1 ist, ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Du löst das Gleichungssystem \(A-\lambda \cdot I_n=0\) und erhältst eine Lösung. Wenn die Lösung dir zwei Basisvektoren gibt ist die Matrix diagonalisierbar, da dann \(d_3=2\) gilt.
Wichtig ist, das ein Eigenwert mehr als einen Eigenvektor hat, sondern i.d.R. unendlich viele. Du erhältst beim Lösen des Gleichungssystems so etwas wie: \(x_1(1,0,1,-1)+x_2(0,0,2,1)\). Das sind zwei Basisvektoren, die dir für beliebige reelle Werte von \(x_1\) und \(x_2\) Eigenvektoren für deinen Eigenwert geben.
  ─   fix 15.02.2022 um 16:38

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