Nullstelle gesucht

Aufrufe: 61     Aktiv: 04.02.2021 um 10:17

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Hallo an alle! 

Gegeben: fk(x)=(k-x)*e^x

Aufgabe: a)  Zeige, dass der Graph einer jeden Funktion fk genau einen Extrempunkt hat. 

b) zeige, dass die Extrempunkte aller Funktionen fk auf dem Graphen der expinentialfunktion g(x)=e^x liegt 

Mein bisheriger Lösungsansatz bei a:

fk'(x)=e^x(-1+k-x)
fk''(x)=e^x(-2+k-x) 

jetzt wollte ich die 1. Ableitung =0 setzen. Aber weiß nicht weiter wie ich dort die Nullstellen berechnen soll. 

könnte mir jemand weiter dabei helfen? 

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Schüler, Punkte: 22

 

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1 Antwort
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Du hast hier ein Produkt von Funktionen stehen. Du kannst also den Satz vom Nullprodukt anwenden: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 

Welche Besonderheit hat nun die e-Funktion und was folgt daraus für die Nullstellen?
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Selbstständig, Punkte: 6.92K
 

e^x=0 ? Das geht ja nur, wenn x=0 ist. Ist es denn so richtig? Dann würd ich danach 0=-1+k-x rechnen   ─   slowtown 04.02.2021 um 00:07

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Achtung es ist \(e^0=1\neq 0\) ... die e-Funktion kann nie Null werden. Du hast ja ein Produkt, welches genau dann Null wird wenn ein Faktor Null wird. Welcher Term kann dann also bloß =0 sein?   ─   maqu 04.02.2021 um 00:13

Oh Gott stimmt, hab da komplett falsch gedacht. Dann wäre es ja der andere Term, der =0 gesetzt wird. Ist denn x= -(1/k) richtig?   ─   slowtown 04.02.2021 um 00:19

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Überleg nochmal ... wenn du \(0=-x+k-1\) nach \(x\) umstellst erhältst du?   ─   maqu 04.02.2021 um 00:21

x=k-1?   ─   slowtown 04.02.2021 um 00:24

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Korrekt.   ─   cauchy 04.02.2021 um 00:26

Ist es dann die einzige nullstelle? Da ja e^x≠ 0   ─   slowtown 04.02.2021 um 00:27

Könntest du mir vielleicht noch weiter helfen? Wenn ich jetzt die Nullstelle wieder in die Funktion einsetze, bekomm ich den Punkt (k-1|e^x) raus. Ist das richtig? Wenn ja, wie begründe ich damit, dass der Graph genau 1. extrempunkt hat?   ─   slowtown 04.02.2021 um 00:39

Du musst das \(x\) bei der e-Funktion auch einsetzen.

Ja, es ist die einzige Nullstelle. Und jetzt darfst du dreimal raten, warum es dann nur einen Extrempunkt gibt...
  ─   cauchy 04.02.2021 um 00:46

Okay, dann ich hab am Ende den Punkt (k-1 | e^(k-1))
Und es hat nur eine extremstelle, da die 1. Ableitung nur eine Nullstelle hat?
  ─   slowtown 04.02.2021 um 09:34

Korrekt 👌   ─   maqu 04.02.2021 um 10:17

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