Warum ist bei der Folge (a_n/b_n)_n e N die Bedingung b_n != 0 nicht unbedingt notwendig?

Aufrufe: 419     Aktiv: 10.03.2021 um 22:52
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Den ersten Teil der Frage habe ich schon alleine geschafft, die Begründung für den 2. Teil der Frage ist mir leider nicht gelungen.
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Wenn \( b \neq 0 \) ist, dann wählen wir \( \varepsilon = \frac{\vert b \vert}{2} \) und sehen, dass nach Definition des Grenzwerts fast alle \( b_n \) im Intervall \( (b-\varepsilon, b + \varepsilon ) \) liegen müssen. Wegen \( 0 \notin (b-\varepsilon, b + \varepsilon ) \) müssen damit fast alle \( b_n \) ungleich Null sein.
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Ok ich verstehe, also es ist eben vernachlässigbar bzw. es spielt keine große Rolle, wenn eines der endlich vielen Folgenglieder (b_n) außerhalb der Epsilon-Umgebung 0 ist.   ─   testran 10.03.2021 um 22:30
Genau. Ab einem bestimmten Index ist die Folge der \( \frac{a_n}{b_n} \) wohldefiniert. Und den Rest vernachlässigt man dann einfach.   ─   42 10.03.2021 um 22:52

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Wenn der grenzwert von der folge \(b_n\) ja ungleich \(0\) ist, müssen ab einem großen \(N\) schon alle darauffolgenden \(b_n\)'s sehr nah an dem grenzwert liegen und können deshalb nicht mehr \(0\) sein.

Hilft dir das weiter? sonst frag nochmal nach
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Danke für die Antwort,
aber es wäre doch möglich, dass die Folge bei 0 "startet" und dann einen Grenzwert irgendwo >0 hat - dann wäre die Folge an/bn doch auch nicht wohldefiniert?   ─   testran 10.03.2021 um 22:26

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Das ist eine merkwürdige Frage.
Du hast es aber falsch wiedergegeben: In der Aufgabe steht "keine große Rolle", Du sagst "nicht unbedingt notwendig".
Die Bedingung ist durchaus unbedingt notwendig (nicht nur "eigentlich notwendig"). Gemeint ist wohl in der Aufgabe, dass sie nur "eine kleine Rolle" spielt. Womit vermutlich gemeint ist, dass es auf das Verhalten gegen unendlich ankommt und nicht auf einzelne Folgenglieder. Wie gesagt, ich vermute das. Ich finde die Formulierung in der Aufgabe unklar.
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