Aufgabe zur Kombinatorik und Stochastik

Aufrufe: 171     Aktiv: vor 4 Monaten, 1 Woche

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Hallo,

ich brauche hilfe bei folgender Aufgabe:

Vielen dank und LG Joline

gefragt vor 4 Monaten, 1 Woche
j
joline,
Student, Punkte: 95

 
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1 Antwort
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Bei Abzählfragen gibt es oft mehrere Möglichkeiten, das Problem zu lösen und unterschiedliche Leute sehen unterschiedliche Wege als den Besten an.

Ich würde tatsächlich b) zuerst lösen, indem ich zunächst die Frage beantworte, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei einer zufälligen Anordnung die drei Personen ganz links in der "richtigen" Reihenfolge angeordnet sind.

Es gibt \(3!=6\) Möglichkeiten, wie die drei Personen angeordnet sein können und nur eine davon ist "günstig". Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür \(\frac{1}{6}\). 

Dasselbe gilt auch für die nächsten drei Personen (die zweite Spalte). Auch diese stehen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\) richtig. 

Dies gilt für alle \(n\) Spalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle \(n\) Spalten richtig stehen ist also \((\frac{1}{6})^n\). Damit ist die Antwort auf b) gefunden. Da es insgesamt \( (3n)! \) Möglichkeiten gibt, die \(3n\) Personen anzuorden, ist die Antwort auf Frage a) somit \( (3n)! \cdot (\frac{1}{6})^n = \frac{(3n)!}{6^n}\)

Alternativ kann man bei a) beginnen und die Leute aktiv in eine erlaubte Position bringen. Dazu nimmt man zunächst \(3\) Personen aus den \(3n\), stellt diese in der richtigen Reihenfolge nach ganz links, dann nimmt man \(3\) Personen aus den verbleibenden \(3n-3\) und stellt diese in der richtigen Reihenfolge daneben und so weiter.

Das ergibt als Anzahl \( \binom{3n}{3}\cdot\binom{3n-3}{3}\cdot\binom{3n-6}{3}\ldots\binom{3}{3}\). Schreibt man dies mit Hilfe von Fakultäten \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} \) kürzt sich jede Menge heraus und es verbleibt ebenfalls \( \frac{(3n)!}{(3!)^n} = \frac{(3n)!}{6^n} \)

geantwortet vor 4 Monaten, 1 Woche
w
wrglprmft
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.08K
 
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