Wir sollen eine Gleichheit von Mengen zeigen, nämlich \(\ker\varphi=(-15+4\sqrt{13})\) (Ich gehe davon aus, du meintest \(\sqrt{13}\) statt \(\sqrt3\), da letzteres überhaupt nicht in deinem Ring enthalten ist). Fast immer, wenn man die Gleichheit von Mengen zeigen soll, bietet es sich an, beide Inklusionen zu zeigen, so auch hier.

Beginnen wir mit "\(\supseteq\)", das ist die einfachere. Sei \(x\in(-15+4\sqrt{13})\), d.h. \(x=y(-15+4\sqrt{13})\) für ein \(y\in\mathbb Z[\sqrt{13}]\). Wir rechnen $$\varphi(x)=\varphi(y(-15+4\sqrt{13}))=\varphi(y)\varphi(-15+4\sqrt{13})=\varphi(y)\cdot\overline{-15+8\cdot4}=\varphi(y)\overline{17}=\overline0,$$ also ist \(x\in\ker\varphi\) und da \(x\) beliebig war, folgt \((-15+4\sqrt{13})\subseteq\ker\varphi\).

Jetzt kümmern wir uns um die umgekehrte Inklusion "\(\subseteq\)". Hier hängt der einfachste Lösungsweg stark von der Theorie ab, die du zu dem Thema kennst. Am einfachsten wäre: \(\mathbb Z[\sqrt{13}]\) ist normeuklidisch und \(-15+4\sqrt{13}\) irreduzibel, da die Norm eine Primzahl ist. Aus ersterem folgt, dass \(\ker\varphi=(a)\) für ein passendes \(a\), wegen der schon gezeigten Inklusion folgt \(a|-15+4\sqrt{13}\), wegen der Irreduzibilität folgt \(a\sim-15+4\sqrt{13}\) (\(\sim\) bedeutet Assoziiertheit) und damit die gewünschte Gleichheit der Ideale.
Das andere Extrem komplett ohne Ringtheorie ist, für jedes \(a\in\{0,\ldots,16\}\) das (eindeutige) \(b\in\{0,\ldots,16\}\) zu bestimmen, sodass \(\varphi(a+b\sqrt{13})=\overline0\) und dann zu zeigen, dass \(a+b\sqrt{13}\in(-15+4\sqrt{13})\). Überleg dir, warum das schon die Behauptung zeigt, also warum man die Werte für \(a,b\) auf \(\{0,\ldots,16\}\) einschränken kann.
Es kann gut sein, dass der beste Weg für dich irgendwo zwischen den zwei Extrema liegt, aber das ist schwer zu sagen, ohne deinen genauen Wissensstand zu kennen.