Geometrische Definition für Links- und Rechtskrümmung?

Aufrufe: 392     Aktiv: 02.11.2022 um 22:07

0
Hallo! 
Sitze an folgender Aufgabe: 



Kann mir jemand dabei helfen? Bin über jede Hilfe dankbar!
Danke

EDIT vom 02.11.2022 um 15:14:

Meine Zeichnung bisher: 

EDIT vom 02.11.2022 um 19:38:

..
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 22

 

Meine Idee war jetzt: Jeder Punkt auf dem Graphen (blau) im Intervall [$x_1,x_2$] liegt unterhalb von jedem Punkt auf der Sekante (grün), natürlich auch im Intervall [$x_1,x_2$], wenn eine Linkskrümmung vorliegt. Und bei Rechtskrümmung genau andersrum.   ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 15:17

Falls es richtig ist, bräuchte ich noch Hilfe, die x-Koordinate der Sekante allgemein zu formulieren… (also quasi da wo der grüne Pfeil ist).   ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 15:19
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Deine Idee ist genau richtig. Aber wozu willst Du die Sekante nach $x$ (kann man machen, aber wozu?)?
Laut Hinweis sollst Du nun die Grenzwerte von zwei Steigungen betrachten. Diese Grenzwerte sind natürlich die Ableitungen an den jeweiligen Stellen, also die Steigungen der Tangenten. Überleg mal in diese Richtung weiter.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Das mit der x-Koordinate der Sekantenfunktion wollte ich, um algebraisch aufzuschreiben, was ich oben gesagt habe. Also wenn ich die x-Koordinate habe, bestimme ich davon den Funktionswert (rote Linie). Und dann wollte ich aufschreiben, dass eben der Funktionswert der Sekantenfunktion größer ist als der Funktionswert der Funktion (blau), wenn wir eine Linkskrümmung haben.

Zum Hinweis (siehe meine zweite Zeichnung: Falls $x \rightarrow x_1$ wird die Steigung $m_f(x,x_1)$ immer kleiner und falls $x \rightarrow x_2$ wird die Steigung $m_f(x,x_2)$ immer größer (ich bekomme die Pfeile nicht schräg hin). Allerdings habe ich es noch nicht mit der Tangentensteigung begründet. Ist das aber an sich richtig?
  ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 19:38

Kann ich also sagen: Sei $s(x)$ der Funktionswert der Sekantenfunktion und $f(x)$ der Funktionswert der Funktion. Eine Linkskrümmung liegt vor, wenn auf einem Intervall $[x_1,x_2]$ $s(x)>f(x)$ für alle $x \in [x_1,x_2]$ gilt.
Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn auf einem Intervall $[x_1,x_2]$ $s(x) < f(x)$ für alle $x \in [x_1,x_2]$ gilt.

Zu "hilfreiche Beziehung der Steigungen": Kann ich es damit begründen, dass für den Fall $x \rightarrow x_1$ die Steigung $m_f(x,x_1)$ sich immer weiter der Steigung der Tangente im Punkt $x_1$ nähert? Außerdem nähert sich die Sekante $s$ für $x \rightarrow x_1$ immer näher der Tangente. Ist also $x=x_1$ erreicht, haben wir die Tangente im Punkt $x_1$. Analog für $x \rightarrow x_2$.
  ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 20:07

Für die Linkskrümmung: Die Steigung der Tangente an einem Punkt $x$ ist die Steigung eines Graphen im selben Punkt $x$. Deshalb:
Falls $x \rightarrow x_1$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_1)$ $\rightarrow$ $f'(x_1)$
Falls $x \rightarrow x_2$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_2)$ $\rightarrow$ $f'(x_2)$

Da $x_1 < x_2$ ist $m_f(x,x_1)$ $≤$ $m_f(x,x_2)$ und damit $f'(x_1)$ $≤$ $f'(x_2)$. Das zeigt ja, dass die erste Ableitung im Intervall $[x_1,x_2]$ monoton fällt. Aber nicht streng. (Falls das bis jetzt richtig ist) Wie zeige ich dass $f'(x_1)$ $<$ $f'(x_2)$?
  ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 20:35

Ich sehe gerade: $x_1$ ist echt kleiner $x_2$ und damit hätte sich die Frage geklärt oder?   ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 20:39

Alles klar, vielen vielen Dank für die tolle Hilfe!   ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 21:15

Okay! :-)   ─   anonymaa0df 02.11.2022 um 22:07

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.