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Deine Idee ist genau richtig. Aber wozu willst Du die Sekante nach $x$ (kann man machen, aber wozu?)?
Laut Hinweis sollst Du nun die Grenzwerte von zwei Steigungen betrachten. Diese Grenzwerte sind natürlich die Ableitungen an den jeweiligen Stellen, also die Steigungen der Tangenten. Überleg mal in diese Richtung weiter.
Laut Hinweis sollst Du nun die Grenzwerte von zwei Steigungen betrachten. Diese Grenzwerte sind natürlich die Ableitungen an den jeweiligen Stellen, also die Steigungen der Tangenten. Überleg mal in diese Richtung weiter.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 31.7K
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Das mit der x-Koordinate der Sekantenfunktion wollte ich, um algebraisch aufzuschreiben, was ich oben gesagt habe. Also wenn ich die x-Koordinate habe, bestimme ich davon den Funktionswert (rote Linie). Und dann wollte ich aufschreiben, dass eben der Funktionswert der Sekantenfunktion größer ist als der Funktionswert der Funktion (blau), wenn wir eine Linkskrümmung haben.
Zum Hinweis (siehe meine zweite Zeichnung: Falls $x \rightarrow x_1$ wird die Steigung $m_f(x,x_1)$ immer kleiner und falls $x \rightarrow x_2$ wird die Steigung $m_f(x,x_2)$ immer größer (ich bekomme die Pfeile nicht schräg hin). Allerdings habe ich es noch nicht mit der Tangentensteigung begründet. Ist das aber an sich richtig? ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 19:38
Zum Hinweis (siehe meine zweite Zeichnung: Falls $x \rightarrow x_1$ wird die Steigung $m_f(x,x_1)$ immer kleiner und falls $x \rightarrow x_2$ wird die Steigung $m_f(x,x_2)$ immer größer (ich bekomme die Pfeile nicht schräg hin). Allerdings habe ich es noch nicht mit der Tangentensteigung begründet. Ist das aber an sich richtig? ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 19:38
Ja, das ist alles richtig. Zur x-Koordinate: Dann brauchst Du aber nicht die x-Koordinate von irgendwas, sondern die zu x gehörende y-Koordinate, einmal die von der Sekantenfunktion und einmal die von der Funktion. Die stehen aber ja schon da. Damit kannst Du Deine Idee schön math. formulieren.
Das mit der Tangentensteigung sollte nur eine Zusatzinfo sein, Du brauchst damit nicht zu argumentieren.
Es ist etwas unklar, was der Aufgabensteller genau haben will. Es scheint es läuft darauf hinaus, dass man einen kleinen Aufsatz schreiben soll. Rechnen soll man ja nicht, sondern am Bild begründen.
Deine Beobachtung (Steigung wird immer größer bzw. kleiner) solltest Du noch begründen und daraus dann etwas über eine "hilfreiche Beziehung der Steigungen" schließen.
─ mikn 02.11.2022 um 19:51
Das mit der Tangentensteigung sollte nur eine Zusatzinfo sein, Du brauchst damit nicht zu argumentieren.
Es ist etwas unklar, was der Aufgabensteller genau haben will. Es scheint es läuft darauf hinaus, dass man einen kleinen Aufsatz schreiben soll. Rechnen soll man ja nicht, sondern am Bild begründen.
Deine Beobachtung (Steigung wird immer größer bzw. kleiner) solltest Du noch begründen und daraus dann etwas über eine "hilfreiche Beziehung der Steigungen" schließen.
─ mikn 02.11.2022 um 19:51
Kann ich also sagen: Sei $s(x)$ der Funktionswert der Sekantenfunktion und $f(x)$ der Funktionswert der Funktion. Eine Linkskrümmung liegt vor, wenn auf einem Intervall $[x_1,x_2]$ $s(x)>f(x)$ für alle $x \in [x_1,x_2]$ gilt.
Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn auf einem Intervall $[x_1,x_2]$ $s(x) < f(x)$ für alle $x \in [x_1,x_2]$ gilt.
Zu "hilfreiche Beziehung der Steigungen": Kann ich es damit begründen, dass für den Fall $x \rightarrow x_1$ die Steigung $m_f(x,x_1)$ sich immer weiter der Steigung der Tangente im Punkt $x_1$ nähert? Außerdem nähert sich die Sekante $s$ für $x \rightarrow x_1$ immer näher der Tangente. Ist also $x=x_1$ erreicht, haben wir die Tangente im Punkt $x_1$. Analog für $x \rightarrow x_2$. ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 20:07
Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn auf einem Intervall $[x_1,x_2]$ $s(x) < f(x)$ für alle $x \in [x_1,x_2]$ gilt.
Zu "hilfreiche Beziehung der Steigungen": Kann ich es damit begründen, dass für den Fall $x \rightarrow x_1$ die Steigung $m_f(x,x_1)$ sich immer weiter der Steigung der Tangente im Punkt $x_1$ nähert? Außerdem nähert sich die Sekante $s$ für $x \rightarrow x_1$ immer näher der Tangente. Ist also $x=x_1$ erreicht, haben wir die Tangente im Punkt $x_1$. Analog für $x \rightarrow x_2$. ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 20:07
Ersteres ist gut.
Das zweite stimmt zwar, aber Du solltest ja eine Beziehung zwischen den beiden Steigungen finden. Formuliere da mal was. Und damit dann zeigen, dass es mit der "analytischen Definition" (über die Ableitungen) übereinstimmt. ─ mikn 02.11.2022 um 20:10
Das zweite stimmt zwar, aber Du solltest ja eine Beziehung zwischen den beiden Steigungen finden. Formuliere da mal was. Und damit dann zeigen, dass es mit der "analytischen Definition" (über die Ableitungen) übereinstimmt. ─ mikn 02.11.2022 um 20:10
Für die Linkskrümmung: Die Steigung der Tangente an einem Punkt $x$ ist die Steigung eines Graphen im selben Punkt $x$. Deshalb:
Falls $x \rightarrow x_1$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_1)$ $\rightarrow$ $f'(x_1)$
Falls $x \rightarrow x_2$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_2)$ $\rightarrow$ $f'(x_2)$
Da $x_1 < x_2$ ist $m_f(x,x_1)$ $≤$ $m_f(x,x_2)$ und damit $f'(x_1)$ $≤$ $f'(x_2)$. Das zeigt ja, dass die erste Ableitung im Intervall $[x_1,x_2]$ monoton fällt. Aber nicht streng. (Falls das bis jetzt richtig ist) Wie zeige ich dass $f'(x_1)$ $<$ $f'(x_2)$? ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 20:35
Falls $x \rightarrow x_1$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_1)$ $\rightarrow$ $f'(x_1)$
Falls $x \rightarrow x_2$ $\Rightarrow$ $m_f(x,x_2)$ $\rightarrow$ $f'(x_2)$
Da $x_1 < x_2$ ist $m_f(x,x_1)$ $≤$ $m_f(x,x_2)$ und damit $f'(x_1)$ $≤$ $f'(x_2)$. Das zeigt ja, dass die erste Ableitung im Intervall $[x_1,x_2]$ monoton fällt. Aber nicht streng. (Falls das bis jetzt richtig ist) Wie zeige ich dass $f'(x_1)$ $<$ $f'(x_2)$? ─ anonymaa0df 02.11.2022 um 20:35
Ich sehe gerade: $x_1$ ist echt kleiner $x_2$ und damit hätte sich die Frage geklärt oder?
─
anonymaa0df
02.11.2022 um 20:39
Vorweg zur Sprechweise: Man sagt, die Steigung an der STELLE x, oder im PUNKT (x,y).
Erstmal: Du meinst monoton steigt (nicht fällt). Die strenge Monotonie ist etwas verzwickter. Du hast ja gezeigt (am Bild), dass die beiden $m_f$ monoton fallen bzw. steigen, d.h. die laufen auseinander. Die beiden können dann nur gleich sein, wenn sie auf der ganzen Strecke zwischen $x_1$ und $x_2$ gleich sind, d.h. $f$ hätte konstante Steigung, wäre damit identisch der Sekante auf diesem Intervall, also nicht linksgekrümmt (sondern gar nicht gekrümmt).
Ich bin nicht sicher, ob sich der Aufgabensteller das alles so genau überlegt hat. Das ist ja nicht einfach (aber Kompliment, dass Du soweit gut durchgekommen bist). ─ mikn 02.11.2022 um 20:55
Erstmal: Du meinst monoton steigt (nicht fällt). Die strenge Monotonie ist etwas verzwickter. Du hast ja gezeigt (am Bild), dass die beiden $m_f$ monoton fallen bzw. steigen, d.h. die laufen auseinander. Die beiden können dann nur gleich sein, wenn sie auf der ganzen Strecke zwischen $x_1$ und $x_2$ gleich sind, d.h. $f$ hätte konstante Steigung, wäre damit identisch der Sekante auf diesem Intervall, also nicht linksgekrümmt (sondern gar nicht gekrümmt).
Ich bin nicht sicher, ob sich der Aufgabensteller das alles so genau überlegt hat. Das ist ja nicht einfach (aber Kompliment, dass Du soweit gut durchgekommen bist). ─ mikn 02.11.2022 um 20:55
Alles klar, vielen vielen Dank für die tolle Hilfe!
─
anonymaa0df
02.11.2022 um 21:15
Gern geschehen. Liefer bei weiteren Fragen am besten immer gleich Deine Vorarbeiten mit, dann können wir schneller einsteigen.
─
mikn
02.11.2022 um 21:26
Okay! :-)
─
anonymaa0df
02.11.2022 um 22:07