Deine Lösung ergibt so für mich keinen wirklichen Sinn. Einfach Gleichungen bzw. Ungleichungen untereinander zu schreiben, ist sehr unmathematisch. Du musst immer klar machen, was das alles soll. Sind das Äquivalenzen oder Implikationen oder was?
Zu zeigen ist im Induktionsschritt die Ungleichung \( 2^{n+1} > (n+1)^2 \), aber das sehe ich bei dir nirgendwo. Da fragt man sich natürlich, was die ganzen Gleichungen bzw. Ungleichungen eigentlich sollen.
Mal ganz davon abgesehen: Äquivalenzen sind bei Induktionsbeweisen nicht falsch, aber kein guter Stil. Versuche den Induktionsanfang und auch den Induktionsschritt jeweils in einer einzigen (Un-)Gleichungskette durchzuführen. So wie es auch in der Musterlösung ist. Im Induktionsschritt startest du hier also bei \( 2^{n+1} \) und formst dann mit \(=\) und \( > \) zu \( (n+1)^2 \) um.
Also vielleicht war deine Idee sogar gut, aber was du daraus gemacht hast, ist leider kein gültiger Beweis.