(Twitter)
Hallo,
nein die Wahrscheinlichkeitsdichten sind außer für die Normalverteilung niemals eine Glockenkurve.
Im diskreten Fall, kann man sich die Wahrscheinlichkeitsdichte als Wahrscheinlichkeit für \( P(X=x) \) vorstellen. Es gibt also schon eine Art von Wahrscheinlichkeit an. Für den stetigen Fall, sagen wir im Allgemeinen \( P(X=x) =0 \), da es immer leichte Schwankungen gibt und es deshalb sehr unwahrscheinlich ist, das ein exaktes Ergebnis vorkommt. Aber nichts desto trotz, trägt die Wahrscheinlichkeitsdichte die "Struktur der Wahrscheinlichkeit".
Die Verteilunsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit für Bereiche an, beispielsweise \( P(X \leq x) \). Die Verteilungsfunktion kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte konstruiert werden. Dafür summieren wir im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeiten aus dem Bereich auf um so die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten.
Im stetigen Fall, können wir nicht mehr einzelne Wahrscheinlichkeiten aufsummieren, da es unendliche viele Werte gibt. Aber genau aus dieser Idee ist auch das integrieren aus dem aufsummieren entstanden. Es werden unendlich kleine Bereiche aufsummiert (das ist ganz salopp das Prinzip der Integration).
Deshalb integrieren wir auch die Wahrscheinlichkeitsdichte.
Ich kann leider mit Ncd nichts anfangen. Was ist das?
Ich hoffe ich konnte dir sonst Klarheit verschaffen. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
\( P(X=x) \) bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, für ein genaues Ereignis. Betrachten wir dafür mal ein kleines Beispiel: Nehmen wir an wir würden die Größe von Menschen betrachten. Nun wollen wir wissen, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Mensch exakt 1,9m groß ist. Wenn wir jetzt exakt messen könnten, würde man Größen finden die zwar sehr nah an der 1,9 sind, aber meistens dann doch eher um Haaresbreite kleiner bzw. größer sind, Deshalb würde man für die Größe 1,9 eher ein kleines Intervall um 1,9 betrachten. Aus dem Grund sagt man, dass ein exaktes Ergenis sehr sehr unwahrscheinlich ist (\(P(X=x)=0\)).
Im diskreten Fall sieht das wieder anders aus. Würden wir das erhalten von Noten betrachten, dann finden wir sehr wohl Kandidaten die exakt eine 1 oder 2 usw. haben. Wir können diesen exakten Ereignissen somit eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Hier wird dann auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion genutzt um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu bestimmen.
Also ja du hast das Prinzip verstanden :)
Nun nochmal zum Begriff der Verteilungsfunktion. Für diese gilt
$$F_X(x) = P(X \leq x) $$
Die Verteilungsfunktion resultiert für gewöhnlich (nicht immer, aber ich glaube im Schulbereich immer) aus der Wahrscheinlichkeitsdichte. Im diskreten Fall, addieren wir alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem betimmten Ereignis auf
$$ F(x) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(x=k) $$
nicht von \( \lfloor x \rfloor \) verwirren lassen. Das ist die Abrundungsfunktion. Also die eine reelle Zahl auf die nächste ganze Zahl abrundet. Beispielsweise \( \lfloor 1{,}9 \rfloor = 1 \).
Wir addieren hier also die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse bis zum Ereignis \( \lfloor x \rfloor \) auf.
Bei der stetigen Zufallsvariable integrieren wir anstatt aufzusummieren, da wir hier nicht mehr jedes Ereignis aufsummieren können (es gibt schließlich unendlich viele)
$$ F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) \ \mathrm{d}t $$
mit \( f(t) \) der Wahrscheinlichkeitsdichte.
Vergleiche das nochmal mit dem was du kennst. Ich denke oder hoffe eher, das ihr die Begriffe nicht vertauscht habt. Vielleicht seid ihr auf den oberen Part einfach nicht eingegangen, aber ich finde ihn eigentlich nicht unwichtig fürs Verständnis. ─ christian_strack 12.12.2020 um 12:50