Wir zeigen, dass die Relation nicht reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Dazu reicht es ein Gegenbeispiel anzugeben.

1 ist kein direkter Nachfolger von 1. Also steht 1 nicht in Relation zu 1. Somit ist die Relation nicht reflexiv.

2 ist direkter Nachfolger von 1, aber 1 ist nicht direkter Nachfolger von 2. Also steht 2 in Relation zu 1, aber 1 nicht in Relation zu 2. Somit ist die Relation nicht symmetrisch.

3 ist direkter Nachfolger von 2 und 2 ist direkter Nachfolger von 1, aber 3 ist nicht direkter Nachfolger von 1. Also steht 3 in Relation zu 2 und 2 steht in Relation zu 1, aber 3 steht nicht in Relation zu 1. Somit ist die Relation nicht transitiv.

Seien \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen. Dann ist \(a\sim b\) genau dann, wenn b direkter Nachfolger von a ist. Das bedeutet: \(a\sim b\Leftrightarrow a+1=b\). Wenn man nun Reflexivität prüft: \( a\sim a\), erhält man \(a+1=a\), was unwahr ist.