Wahrscheinlichkeit

Aufrufe: 77     Aktiv: 14.06.2021 um 17:48

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Wie oft muss das Werfen einer Münze geplant werden, um mit einer Sicherheit (d. h.Wahrscheinlichkeit) von mindestens 99% mindestens einmal das Ergebnis 􏰂Zahl􏰁 zu erhalten?
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Student, Punkte: 10

 
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Wenn du $n$-mal eine Münze wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit, nie "Zahl" (also immer "Kopf") zu werfen, $(\frac12)^n$, und damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal "Zahl" zu werfen (was das Gegenereignis ist), $1-(\frac12)^n$. Das soll jetzt $\geq99\%$ sein, also erhalten wir die Ungleichung $$1-\left(\frac12\right)^n\geq\frac{99}{100}$$ Kannst du diese Ungleichung nach $n$ auflösen?
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Hallo!

Das ist eine sogenannte "3-mal-mindestens-Aufgabe".
X: Anzahl des Ereignisses "Zahl"
X ist binomialverteilt mit \( p=0,5\).
Gesucht ist jetzt das kleinste \( n \), sodass gilt:
\( P(X \geq 1) \geq 0,99 \)
Das ist gleichbedeutend mit:
\( P(X = 0) \leq 0,01 \) (Gegenwahrscheinlichkeit)
Soweit klar?
Und mit der Formel für die Binomialverteilung kannst du daraus eine Gleichung aufstellen. Nimm dafür allerdings \( P(X = 0) = 0,01 \) und runde dann bei \(n\) auf jeden Fall auf (denn du suchst  ja das kleinste \(n\), für das das gilt und das abgerundete Ergebnis wäre kleiner, könntest du dann auch über die kumulierte Binomialdichte sehen).

Hoffentlich konnte ich dir auf die Sprünge helfen. Melde dich gerne bei Rückfragen!
LG Lunendlich :)
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Schüler, Punkte: 480

 

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