Hallo,

die Idee des Integrals entstand durch den Versuch die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der \( x\)-Achse zu berechnen. Durch Rechtecke wird der Flächeninhalt immer mehr angenährt, bis wir im Grenzfall eine Funktion erhalten, die den orientierten Flächeninhalt berechnet (Stichwort: Ober- und Untersumme). 

Wichtig ist zu erwähnen, das es man nur den orientierten Flächeninhalt berechnet. Der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse ist negativ und der Flächeninhalt oberhalb ist positiv. Das Vorzeichen gibt uns somit Auskunft darüber, wo die Fläche bezogen auf die \(x\)-Achse ist.

Das führt uns nun aber zu einem Problem. Durch unterschiedliche Vorzeichen, kann es zu Auschlöschung kommen. Positive und negative Werte können sich gegenseitig aufheben. Wir erhalten also eine Flächenbilanz. 

Durch geeignete Unterteilung können wir den Flächeninhalt berechnen. Wir unterteilen die Fläche dort, wo die Nullstellen sind, denn dort ensteht der Wechsel der Vorzeichen. Wenn wir dann von den einzelnen Unterteilungen den Betrag nehmen, erhalten wir den tatsächlichen Flächeninhalt.

Dass das Integral eine Inverse zur Ableitung ist, wurde erst später durch den sogenannten Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen. Deshalb heißt er auch so "Fundamentalsatz", denn er ist von fundamentaler Bedeutung für die Integral und Differentialrechnung und verbindet beide Teilgebiete.

Die Stammfunktion ist nun eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt von \( 0 \) bis \(x \) berechnet:

$$ F(x) = \int\limits_0^x f(t) \, \mathrm{d}t $$

Den Flächeninhalt zwischen zwei Grenzen \( a \) und \( b \) berechnet man nun mit Hilfe der Stammfunktion

$$ A = \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a) $$

Warum haben wir hier nun eine Differenz? Du kannst dir das so vorstellen: 

Wir betrachten ein Quadrat \(Q_1\) mit dem Flächeninhalt \( A_1 \) und in dem Quadrat noch ein weiteres kleiners Quadrat \( Q_2 \) mit dem Flächeninhalt \( A_2 \). Wenn wir nun wissen wollen, wie groß die Fläche ist, die \( Q_1 \) größer ist als \( Q_2 \), dann berechnen wir 

$$ A_1 - A_2 $$

Also wir ziehen von der größeren Fläche die kleinere ab. 

Beim Integral ist \( F(b) \) der orientierte Flächeninhalt von \( 0 \) bis \( b \). Wir wollen aber nur den Flächeninhalt von \( a \) bis \( b \). Deshalb ziehen wir die Fläche von \( 0 \) bis \( a \). Das ist gerade \( F(a) \). 

Die Integralrechnung hat unglaublich viele Anwendungsgebiete. Von Flächen bis Volumenberechnungen, über physikalische Anwendungen usw. Ich würde da einfach mal etwas googeln, da findest du viele Beispiele.  

Ich hoffe das klärt deine Frage, ansonsten melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian