Beweis einer trigonometrischen Funktion

Aufrufe: 533     Aktiv: 20.01.2021 um 16:34
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Hallo,

 

ich versuche derzeit die folgende Gleichung zu beweisen: \(\cosh (x)^{2}-\sinh (x)^{2}=1\).

Mein bisheriger Rechenweg sieht wie folgt aus:

\(\begin{aligned}
\cosh(x)^2-\sinh(x)^2 &= \left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x+e^{-x}\right)\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x-e^{-x}\right)\right)^2 \\
&= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 \\
&= \frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{4} \\
&= \frac{ e^{2x} + e^{-2x} -e^{2x} -e^{-2x} }{4} \\
&= \frac{ e^{2x} -e^{2x} + e^{-2x} -e^{-2x} }{4}  = \frac{0}{4} = 0\\
\end{aligned}\)

Nunja, wie man sieht ist \(0≠1\). Daher ist meine erste und vielleicht einzige Frage: Habe ich bei einer der Umformungen einen Fehler gemacht? Und wenn ja, wo? Ich selbst finde dort leider keinen Fehler :-( 

 

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin

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Zweite auf dritte Zeile. Wenn du eine Summe quadrierst musst du natürlich eine binomische Formel anwenden, du darfst auf keinen Fall jeden Summanden einzeln quadrieren.

Damit solltest du dann auf \(\dfrac{4}{4}=1\) im Ergebnis kommen.

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Oh, stimmt. Die binomischen Formeln :D Danke erstmal. Bin noch nicht ganz bei \(1\) angelangt. Ich habe nun:

\(\begin{aligned}
\cosh(x)^2-\sinh(x)^2 &= \left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x+e^{-x}\right)\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x-e^{-x}\right)\right)^2 \\
&= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 \\
&= \frac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4} \\
&= \frac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x} - e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4} \\
&= \frac{e^{-2x} +e^{-2x}}{4} = \frac{2e^{-2x}}{4}\\
\end{aligned}\)

Stimmt das soweit?   ─   kingkevin23 19.01.2021 um 19:58
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Nein das stimmt nicht. Oder ist das etwa 1? Das Vorzeichen beim vorletzten Summanden ist nicht richtig. Da muss \(+2e^xe^{-x}\) stehen.   ─   vetox 19.01.2021 um 20:27
Aber laut der zweiten binomischen Formel gilt doch \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Wie kommt man da auf \(+\)?   ─   kingkevin23 20.01.2021 um 10:50
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Weil vor dem ganzen Bruch ein Minus steht musst du natürlich dann jedes Vorzeichen im Zähler drehen. Ich sehe gerade das letzte Vorzeichen stimmt auch nicht: \(\dfrac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}-(e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x})}{4}=\dfrac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}-e^{2x}+2e^{x}e^{-x}-e^{-2x}}{4}\)   ─   vetox 20.01.2021 um 14:22
Ach ja, dann erhalte ich \(\frac{4e^xe^{-x}}{4}=e^xe^{-x}=e^x\cdot\frac{1}{e^x}=\frac{e^x}{e^x}=1\). Vielen Dank für deine Hilfe!!   ─   kingkevin23 20.01.2021 um 15:37
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Jo genau   ─   vetox 20.01.2021 um 16:34

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