Warum MUSS die Implikation bei falscher Prämisse "wahr" sein? (Leere Wahrheit)

Aufrufe: 180     Aktiv: 23.07.2026 um 00:15
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Hallo zusammen,

ich bereite mich aktuell auf ein Mathematik-Studium vor und hänge komplett an der klassischen Definition der Implikation fest vorallem mit der "leeren Wahrheit" (vacuous truth).

Dass F->W=W oder F->F=W definiert werden, erscheint mir extrem unnatürlich und ehrlich gesagt auch etwas schlampig. Ich weigere mich aktuell, das einfach blind zu akzeptieren.

Ich habe schon Wikipedia und diverse Quellen durchforstet. Die Antwort ist meistens sinngemäß: "the material conditional is defined in that way" oder "es ist nützlich für Induktionsbeweise" 
Das klingt wie eine billige Ausrede nach dem Motto: "Wir definieren uns das einfach so hin, weil unser aktuelles System sonst nicht funktioniert."

Hier sind meine konkreten Einwände, bei denen ich auf eure Perspektiven hoffe:

1. Der Programmier-Vergleich (Warum nicht "undefiniert"?)
In der Programmierung passiert nichts, wenn die bedingung nicht erfüllt wird, der Code wird nie ausgeführt.
Es passiert einfach nichts, der Zustand ändert sich nicht.
Warum zwingt die klassische Logik, diesem Sachverhalt zwingend den Wahrheitswert "wahr" zu geben?
Warum belässt man es nicht einfach bei "undefiniert" oder "nichts"?

2. Das "Runde Würfel"-Paradoxon

Wenn ich sage: "Alle runden Würfel sind blau", ist das laut klassischer Logik wahr, weil die Prämisse, dass es runde Würfel gäbe falsch ist.
Aber was, wenn ich sage: "Alle runden Würfel existieren"? Wäre das dann nach denselben Regeln ebenfalls wahr, eben weil sie nicht existieren?
Es fühlt sich an, als könnte man sich mit dieser Regel alles logisch "herzaubern", auch wenn es in der Realität keinen Sinn macht.


3. Zusammenhang mit Gödel? (Absolut über meiner Gehaltsklasse aber es interessiert mich sehr)

Wenn Mathematiker offensichtlich unnatürliche Regeln einfach hinnehmen und darauf basierend unsere moderne Mathematik vollziehen, ist es dann überhaupt ein Wunder, dass das System (wie bei Gödels Unvollständigkeitssatz) am Ende Lücken hat?


Ich möchte nochmal klar sagen, ich bin absoluter Anfänger und gehe an die Mathematik mit großer demut ran, jedoch möchte ich nicht "weil es immer schon so gemacht wurde" akzeptieren.

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Ich mache mir das so klar: Die Aussage

"Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 3 teilbar"

ist ja wahr.
Etwas formaler aufgeschrieben lautet die Aussage: "Für alle natürlichen Zahlen n gilt: (n durch 6 teilbar) -> (n durch 3 teilbar)"

Was für alle natürlichen Zahlen n gilt, muss auch für n=5 gelten, also: (5 durch 6 teilbar) -> (5 durch 3 teilbar).
Da 5 weder durch 6 noch durch 3 teilbar ist, gilt: F->F

Was für alle natürlichen Zahlen n gilt, muss auch für n=3 gelten, also: (3 durch 6 teilbar) -> (3 durch 3 teilbar).
Also: F->W
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Achso ok also spielt der Anfang mit wofür das überhaupt gilt auch eine wesentliche Rolle,

Für alle natürlichen Zahlen n gilt: (n durch 6 teilbar) -> (n durch 3 teilbar)
P: (n durch 6 teilbar)
Q:(n durch 3 teilbar)

Diese beiden Fälle versteht man
T->T=T
T->F=F

Jetzt
F->F=T
Für n=5 sind beide Aussagen falsch, aber das macht die ursprüngliche Aussage nicht falsch
Weil wie wir das Oben sehen ist das ja wahr

genauso wie für
F->T=T
Für n=9 ist P falsch, aber Q Wahr
Trotzdem macht es die Ursprüngliche Aussage nicht Falsch, wie man oben sieht


Und wenn es für P->Q immer falsch ist?
wie die Aussge: Es existiert ein n in den Natürlichen zahlen wofür gilt: Wenn n durch 2 teilbar ist, dann ist es eine ungerade zahl

Dann wird es automatisch falsch für alle n die durch 2 teilbar sind

aber wenn man n=3 nimmt
Also Wenn 3 durch 2 teilbar ist dann ist es eine ungerade zahl
F->T Wird die gesamt aussage wahr, aber wir wissen das diese aussage nicht wahr ist

Das verstehe ich jetzt nicht ganz?   ─   math121 22.07.2026 um 19:24
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Die Aussage

"Es existiert ein n in den Natürlichen zahlen wofür gilt: Wenn n durch 2 teilbar ist, dann ist es eine ungerade zahl"

ist verwirrend formuliert, aber tatsächlich wahr. Und zwar (u.a.) wegen n=3.

Diese Aussage darf nicht verwechselt werden mit:

"Es existiert ein n in den Natürlichen zahlen wofür gilt: n ist durch 2 teilbar ist, UND n ist eine ungerade Zahl"

Die letzte Aussage ist unwahr.

Aussagen der Form "Es existiert ein x, für die die Implikation I gilt" sind verwirrend und in der Mathematik selten; ich kann mich nicht erinnern, dass mir so etwas jemals über den Weg gelaufen wäre.
  ─   m.simon.539 23.07.2026 um 00:15

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Es geht um Aussagenlogik, also fang vorne (ganz vorne!) an: "Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist."
Und damit ist die Diskussion, ob es nicht auch "nicht definiert" sein kann, schon beendet. Ich weiß nicht, in was für Quellen du nachschaust - das steht in zig Mathe-Büchern so.
"In der Programmierung passiert nichts, wenn die bedingung nicht erfüllt wird, der Code wird nie ausgeführt."
Falsch - das wäre der Fall, wenn das Programm stehen bleibt und sagt, kann nicht weiter. Das Programm läuft aber weiter, wenn es um eine if-Abfrage geht. Es wird entschieden, ob wahr oder falsch, und dann wird etwas ausgeführt oder ein Schritt übersprungen. 
Du bleibst hier schwammig mit "in der Programmierung", also sag genau(!), von welchem Programmschritt du sprichst.
Genauso wie bei Aussagen: Wenn die Implikation nicht falsch ist (das ist sie nicht, auch intuitiv nicht, wenn die Prämisse falsch ist), muss sie also wahr sein (s.o., Def. Aussage).
"Wenn ich sage: "Alle runden Würfel sind blau", ist das laut klassischer Logik wahr, weil die Prämisse, dass es runde Würfel gäbe falsch ist."
Diese Prämisse steckt da gar nicht drin. Aussagen können in der Form: "Quantifizierung gefolgt von Aussageform" formuliert werden. Bringe Deinen Satz in diese formal klare Form, und dann prüfe erneut.
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