Menge aller Folgen von komplexen Zahlen (Vektorraum)

Aufrufe: 722     Aktiv: 28.06.2020 um 16:11
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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: 

\(a_0, a_1...a_k \in \mathbb{C}, \text{mit } k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\)

 

\(S\) die Menge aller Folgen \((x_n)n\geqq1\) von komplexen Zahlen, die für alle \(n \in \mathbb{N}\) der Gleichung \(a_kx_{n+k}+a_{k-1}x_{n+k-1}+..+a_0x_n = 0\) genügen.

Ich soll beweisen, dass \(S \) mit den Operationen, elementweise Addition und Skalarmultiplikation, einen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum bildet.

Keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll...

 

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Student, Punkte: 96

 
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Beim Zeigen von Vektorraumeigenschaften heißt es immer, die Rechenregeln für VR nachzuprüfen. Interessant ist hier (u.a.), dass aus \((x_n), (y_n)\in S\) folgen muss, dass auch \((x_n) +(y_n)\in S\) gilt Dazu schreibt man hin, was \((x_n)\in S\) bedeutet, auch für \((y_n)\).

Wichtige Erkenntnis: Was soll man auch sonst machen, man hat nichts anderes!

Am besten die Bedingungen untereinander schreiben....

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Wenn ich jetzt z.B. die 1. Rechenregel \((0v = 0\forall v \in V)\) zeigen will, wie mach ich das hier?
   ─   mathematikmachtspaß 27.06.2020 um 21:07
Wäre das so richtig: \(0_{xn} = (0+0)_{xn} = 0_{xn}+0_{xn}\)
Wenn ja, wie prüf ich jetzt, ob das Ergebnis in S liegt?   ─   mathematikmachtspaß 28.06.2020 um 09:21
\(0_[xn} = 0_{x1, x2, x3...xn} = 0_{x1}+0_{x2}...+0_{xn}\) und die Bedingung ist \((x_n)n \geqq 1 \), die somit gegeben wäre?
Verstehs nicht wirklich..   ─   mathematikmachtspaß 28.06.2020 um 10:39

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