Transponierte Matrix

Aufrufe: 107     Aktiv: 31.12.2023 um 19:00

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Hallo,
 
ich habe eine Frage zur transponierten Matrix und zwar:
 
1)Wofür braucht man die Transponierte Matrix? Ich dachte erst man kann sie so behandeln wie die Inverse Matrix aber das geht nicht. Ein Beispiel:
 
MatrixA * Spaltenmatrix x1 x2 x3 = MatrixB
 
So dann würde ich die transponierte von MatrixA anwenden und käme auf das Ergebnis, Spaltenmatrix x1, x2,x3 = MatrixAT * MatrixB
 
Das klappt aber nicht, was bringt mir dennn dann überhaupt die transponierte?
 
Vielen Dank im Voraus!
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Das Transponieren einer Matrix ist eine Standard-Technik wie das Ableiten einer Funktion, die an vielen Stellen in der Mathematik Verwendung findet.
Nur ein Beispiel:
Gegeben sei ein \(b\in\mathbb{R}^m\) und eine Matrix \(A\in\mathbb{R}^{m\cdot n}\).
Gesucht ist ein Vektor \(x\in\mathbb{R}^n\), so dass \(|Ax-b|\) minimal ist.
Dabei sei m>n, und A habe vollen Rang: \(\mbox{rang}(A)=n\).
Dann ist x die Lösung des linearen Gleichungssystems \(A^T A x = A^T b\).

Besondere Matrizen sind diejenigen, bei denen die Transponierte gleich der Inversen ist: Orthogonale Matrizen.
Besondere Matrizen sind auch diejenigen, bei gleich ihrer Transponierten sind: Symmetrische Matrizen.
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Warum antwortest Du auf das bereits gemeldete Duplikat? Diese Frage wird früher oder später gelöscht.   ─   mikn 31.12.2023 um 07:25

Warum antwortest du nicht auf meine Frage die da oben steht?   ─   matheistda 31.12.2023 um 11:51

Lieber @m.simon.539 vielen Dank. Aber was mache ich wenn ich keine orthogonale Matrix habe wenn ich ein Gleichungssystem auflösen wil? Wie beispielsweise A * X = B, wobei ich nach x auflösen möchte und A somit keine Quadratische ist?   ─   matheistda 31.12.2023 um 11:53

Dann nutzt man Gauß.

Und es gibt hier Regeln. Wer sich nicht daran hält, hat keine Forderungen an eine Antwort zu stellen.
  ─   cauchy 31.12.2023 um 13:27

Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen kannst Du die Transponierte nicht verwenden.
Wie gesagt, der Gauß-Algorithmus ist hier das Mittel der Wahl.

Die ganze lineare Algebra ist eigenlich so eine Art Werkzeugkiste, und verschiedene Werkzeuge sind für verschiedene Aufgaben gut. Grad wie beim "richtigen" Handwerkeln.
  ─   m.simon.539 31.12.2023 um 19:00

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