Matrix gesucht für Drehung um Winkel mit anschließender Streckung

Erste Frage Aufrufe: 1092     Aktiv: 11.12.2020 um 13:18
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Hallo:) Für diese Aufgabe möchte ich eine allgemeine Form von der Matrix B(2x2) finden.

 

Für eine Drehung um den Winkel \(\alpha\) bekomme ich doch eine Matrix mit \(b_{11}\)=cos(\(\alpha\)) , \(b_{12}\)=-sin(\(\alpha\)) , \(b_{21}\)=sin(\(\alpha\)) und \(b_{22}\)=cos(\(\alpha\)). Oder?

Aber wie bekomme ich dann die anschließende Streckung in die Matrix?

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Student, Punkte: 12

 
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Die Drehmatrix sieht gut aus. Nimm für die Streckung eine Diagonalmatrix mit \(h_1,h_2\) in der Diagonalen. Danach multiplizierst du die beiden Matrizen miteinander. Überlege Dir dabei die richtige Reihenfolge.

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Ich würde sagen, dass ich Drehmatrix* Diagonalmatrix rechnen muss. Also das meine Matrix B dann die Elemente \(b_{11}\) = \(h_{1}\) *cos(alpha) , \(b_{12}\) = \(h_{2}\) *(-sin(alpha)), \(b_{21}\) = \(h_{1}\) *sin(alpha) und \(b_{22}\) = \(h_{2}\) *cos(alpha) hat. Stimmt das?   ─   mathe_99 10.12.2020 um 19:51
Das Produkt hast Du korrekt ausgerechnet. Eine Matrix beschreibt eine Abbildung, indem man die Matrix von links an den Vektor multipliziert. Bei einem Produkt von Matrizen heißt das, dass die *rechts* stehende Matrix zuerst wirkt, in deinem Fall also die Streckung. In der Aufgabe steht aber (leicht mißverständlich, von was die Komponenten gemeint sind), dass zuerst die Drehung wirken soll. Darum würde ich das Produkt andersherum nehmen.   ─   slanack 10.12.2020 um 20:59
Das heißt, wenn ich mit B eine Drehung mit anschließender Streckung beschreibe nehme ich zur Berechnung von B: Diagonalmatrix*Drehmatrix
Und wenn ich eine Streckung mit anschließender Drehung beschreiben möchte nehme ich zur Berechnung von B: Drehmatrix*Diagonalmatrix
Ist das so korrekt?   ─   mathe_99 10.12.2020 um 21:22
Genau!   ─   slanack 10.12.2020 um 21:59
Super, vielen Dank!   ─   mathe_99 10.12.2020 um 22:16
Eine letzte Frage hätte ich noch. Bei der eigentlichen Aufgabe von oben mit einer Drehung mit anschließender Streckung hat das an Beispielen gut funktioniert. Aber kann ich in dem Beispiel von oben im R^2 nicht auch sagen, dass es egal ist ob ich erst drehe und dann strecke oder andersrum? Zumindest habe ich (wenn ich grafisch am Koordinatensystem experimentiert habe) keinen Vektor gefunden bei dem es einen Unterschied gemacht hätte, ob man zuerst dreht oder zuerst streckt..   ─   mathe_99 10.12.2020 um 22:45
Wenn \(h_1\neq h_2\) und die Drehung keine Diagonalmatrix ist, dann macht es schon einen Unterschied. Z.B. gilt für \(h_1=1\), \(h_2=2\), \(\alpha=\frac\pi2\): \[\pmatrix{1&0\\0&2}\pmatrix{0&-1\\1&0}\pmatrix{1\\0}=\pmatrix{0\\2}\] aber \[\pmatrix{0&-1\\1&0}\pmatrix{1&0\\0&2}\pmatrix{1\\0}=\pmatrix{0\\1}.\]   ─   slanack 11.12.2020 um 12:32
Super, Danke. Das hat nochmal geholfen.   ─   mathe_99 11.12.2020 um 13:18

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